Устойчивость линейных систем

В любой реальной системе, охваченной обратной связью, имеются реактивные элементы, накапливающие энергию. Реактивные элементы создают дополнительные фазовые сдвиги. При дополнительном сдвиге на ООС превращается в ПОС, и возникает опасность паразитной генерации. Введение фазокомпенсирующих устройств дополнительно в схему часто лишь сдвигает генерацию с одних частот на другие.

Вывод: применение ОС связано с проблемой обеспечения устойчивости системы.

В основе большинства критериев устойчивости лежит критерий устойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего систему:

- ток или напряжение, - действительные числа, зависящие от параметров системы.

Уравнение (1) однородно и описывает свободную реакцию цепи со сосредоточенными параметрами.

Решение уравнения (1):

где - постоянная, а - корни характеристического уравнения.

Устойчиво, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.

Причем корни уравнения (2) являются полюсами передаточной функции системы.

В случае, если порядок уравнения (1) большой, то получение и исследование корней уравнения (2) может явиться сложной задачей.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица позволяет изучать устойчивость схемы путем анализа соотношений между коэффициентами уравнения (1), без определения самих корней уравнения (2). Этот критерий основан на теореме Гурвица, которая гласит, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (2) с действительными коэффициентами и были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители , составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме:

При сопоставлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающие степень характеристического уравнения, заменяются нулями.

Например для уравнения 4-ой степени получаются следующие определители:

Все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя .

Так как последний столбец определителя содержит лишь один отличный от нуля элемент , расположенный на главной диагонали, то

То есть в соответствии с теоремой Гурвица, условия устойчивости могут быть сформулированы в виде следующих неравенств:

Критерий Рауса-Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости системы с заданными параметрами(коэффициенты тогда известны).

Однако, в экспериментах обычно является известной передаточная функция разомкнутой цепи. Кроме того, критерий Рауса-Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую систему сделать устойчивой.

В таких случаях вместо критерия Рауса-Гурвица можно использовать критерий устойчивости Найквиста.

Изобразим на комплексной плоскости область, где передаточная функция устойчивой системы не должна иметь полюсов:

Контур образован мнимой осью и полуокружностью в кривой полуплоскости с радиусом .

Для системы с ОС имеем:

Пусть прямой усилитель устойчив, т.е. функция K не имеет полюсов в правой полуплоскости.

Тогда схема с обратной связью устойчива, если передаточная функция разомкнутого тракта не обращается в 1 ни в одной из точек правой полуплоскости .

Перейдём с комплексной плоскости на комплексную плоскость .

Каждой точке p на плоскости соответствует точка на плоскости .

Замкнутый контур на плоскости , изображенный на рисунке, преобразуется в соответствующий ему контур на плоскости , который называется годографом функции .

Контур на состоит из мнимой оси и полуокружности.

Полуокружность на плоскости преобразуется в точку в начале системы координат, так как , для реальных систем.

При движении вдоль мнимой оси от на плоскости движемся по контуру; уравнение которой определяется амплитудно и фазочастотной характеристиками системы.

откуда:

Вся правая полуплоскость преобразуется на плоскости во внутреннюю область годографа. Пример показан на рисунке:

Если годограф передаточной функции разомкнутого тракта не охватывает точку , то при замкнутой цепи ОС система устойчива. В противном случае система неустойчива.

Это условие называется критерием Найквиста. Показанная на рисунке диаграмма соответствует устойчивой схеме. При сложной схеме устройства форма годографа может быть сложной.

В подобных случаях оказывается полезным критерий устойчивости, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений оси на участке . Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок, либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз.

Вместо полярных диаграмм(годографов) при применении критерия Найквиста могут быть использованы обычные амплитудно- и фазо-частотные характеристики разомкнутой системы.

Действительно, длина вектора - это АЧХ разомкнутого тракта, –ФЧХ разомкнутого тракта

Совместив на одном графике АЧХ и ФЧх\Х разомкнутого тракта, можно ответить на вопрос об устойчивости системы.

Если при изменении от фаза не достигает величины (n- целое), то замкнутая система устойчива .

Если , то замкнутая система устойчива при любой ФЧХ.

При одновременном выполнении условий:

система может быть неустойчива(если годограф охватывает точку то точно неустойчива).

Поиск по сайту: