Краткая характеристика статистических критериев сравнения

2.1.1. Параметрические критерии сравнения

2.1.1.1. Критерий Стьюдента (t - критерий)

При проверке гипотезы по критерию Стьюдента возможны два варианта:

Ø сравнение среднего арифметического значения выборки с эталоном (генеральной средней);

Ø сравнение средних арифметических значений двух выборок.

1 - й вариант: Среднее арифметическое значение выборки не отличается от эталона, если выполняется следующее неравенство:

где

· - среднее арифметическое значение случайной величины в испытуемой выборке;

· - значение случайной величины в базовой выборке (эталон);

· - среднеквадратическое отклонение случайной величины;

· n – объем выборки;

· - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α /2 и числа степеней свободы m = n - 1.

2 - й вариант: Средние арифметические значения двух выборок а и b не отличаются, если выполняется следующее неравенство

(72)

где

(73)

2.1.1.2. Критерий Фишера (F- критерий)

Дисперсии двух выборок не отличаются, т.е. верна нулевая гипотеза если выполняется следующее неравенство:

(74)

где

· F – расчетное значение критерия Фишера;

· - соответственно большее и меньшее значения дисперсий двух сравниваемых выборок;

· F_табол – табличное значение критерия Фишера для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы m₁= n₁ – 1; m₂ = n₂ - 1 при объеме выборок n₁ и n₂. (табл. 10).

Таблица 10

Значения F - критерия при α = 0,05

2.1.1.3. Критерий Кохрена (G - критерий))

При наличии нескольких выборок одинакового объема нередко выдвигается гипотеза о том, что наибольшая из дисперсий неотличима от дисперсий остальных выборок

Н_о : D_max = D₁ = D₂ = … = D_n.

Для проверки этой гипотезы используют критерий Кохрена (табл.11).

, (75)

где

· D_i- дисперсия i-ой выборки при общем числе выборок равной k;

· G_табл – табличное значение критерия Кохрена для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы m₁ = k (где k- число выборок) и m₂ = (n-1),

где

· n - объём отдельной выборки.

Таблица 11

Значения критерия Кохрена G при a = 0.05

2.1.2. Непараметрические критерии сравнения

2.1.2.1. Критерий Розенбаума (Q – критерий)

Гипотеза верна, если выполняется следующее неравенство:

Q = S + k < Q_табл, (76)

где

· Q - расчетное значение критерия Розенбаума;

· S – число значений случайной величины (СВ) одной ранжированной выборки, превышающих максимальное значение СВ другой ранжированной выборки;

· k - число значений случайной величины одной ранжированной выборки, меньших максимального значения СВ другой ранжированной выборки;

· Q_табл - табличное значение критерия Розенбаума, которое при α = 0,05 может быть принято равным 7.

Пример 4. Даны результаты измерений времени начала схватывания (в мин) двух тампонажных растворов с В/Ц = 0,5, приготовленных из цементов Карадагского (выборки х₁) и Новороссийского (выборки х₂) заводов.

Цель: Установить, обеспечивают ли данные цементы одинаковое время начала схватывания тампонажных растворов: S = 5; k = 6; Q = 5 + 6 = 11; 11<7.

Таблица 12

Схема использования критерия Розенбаума

Вывод. Так как условие (76) не выполняется, то нулевую гипотезу следует отвергнуть, т.е. между временем начала схватывания тампонажных растворов есть разница.

2.1.2.2. Критерий Знаков (Д - критерий)

Используется для сравнения средних арифметических значений двух равных по объему выборок, полученных по результатам параллельных опытов. Нулевая гипотеза верна, если выполняется следующее неравенство

,

где

· Д - расчетное значение критерия знаков;

· К – разность между числом параллельных опытов, в которых значения случайных величин первой выборки (х₁) больше значений случайных величин второй выборки (х₂), и числом параллельных опытов, в которых значения случайных величин первой выборки (х₁) меньше значений случайных величин второй выборки (х₂).

Неравенство х₁ > х₂ принято обозначать знаком плюс (+), а х₁ < х₂ – знаком (-).

Отсюда К = Σ (+) – Σ (-). N – сумма плюсов (+) и минусов (-), т.е. N = Σ (+) + Σ (-). Д_кр – критическое значение критерия знаков, величина которого при α = 0,05 равна 2,0, а при α = 0,1 - 1,6. Д_{кр (0,05)} = 2;

Д_{кр (0,1)} = 1,6.

2.1.2.3. Критерий Вилкоксона (Т - критерий)

Для определения расчетной величины этого критерия необходимо:

· расположить данные двух сравниваемых выборок по мере возрастания их значений в два раза таким образом, чтобы в каждом столбце находилось только одно значение случайной величины;

· присвоить ранги (номера) каждому значению случайной величины от первого до (n₁+n₂), при этом учесть, что несколько значений ранжированного ряда совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их номеров;

· просуммировать ранги первой (Т₁) и второй (Т₂) выборок;

· если n₁ и n₂ ≤ 10, то меньшую из найденных сумм рангов (Т_min) сравнить с табличным значением критерия Вилкоксона (Т_табл) при α = 0,05 (табл. 13).

Таблица 13

Значение критерия Вилкоксона при α = 0,05

Нулевая гипотеза верна, если Т_min < Т_табл.;

· если n₁ и n₂ >10, если хотя бы одна выборка больше 10, то расчетное значение критерия Вилкоксона (Т_расч) определить по формуле:

, (79)

где

· – объем выборки с меньшей суммой рангов ;

· n₁, n₂ – объем соответственно первой и второй выборок;

· n = n₁ + n₂ – объем обеих выборок.

Нулевая гипотеза верна, если

Т_расч < Т_кр, (80)

где

· Т_кр – критическое значение критерия Вилкоксона, которое при α = 0,05 равно 1,13.

2.1.2.4. Критерий Вилкоксона – Манна - Уитни (V - критерий)

Наиболее мощный непараметрический критерий, обычно применятся для сравнения выборок с n ≤ 20.

Для определения расчетной величины этого критерия необходимо:

1. Расположить данные двух сравниваемых выборок по мере возрастания их значений в два ряда таким образом, чтобы в каждом столбце находилось только одно значение случайной величины (порядок операций, как при определении критерия Вилкоксона).

2. Для каждого значения СВ определить число инверсий (число нарушения в порядке расположения данных двух выборок).

Таблица 14

Значение критерия Вилкоксона - Манна - Уитни при α = 0,05

Если перед каким-либо значением случайной величины из первого (второго) ряда оказывается V_i значений случайной величины из второго (первого) ряда, то число этих значений дает инверсию для рассматриваемого значения случайной величины первой (второй) выборки.

3. Определить сумму инверсий для каждой из выборок (сумма инверсий равна произведению объемов двух выборок).

4. Меньшую сумму инверсий (V_min) сравнить с табличным значением критерия Вилкоксона – Манна - Уитни - V_табл (табл. 14).

Нулевая гипотеза верна, если V_min < V_табл. (81)

2.1.2.5. Критерий Сиджела - Тьюки (Z - критерий)

Используется для проверки различия дисперсий двух выборок разного объема (n₁ < n₂).

Нулевая гипотеза Н_о: D₁ = D₂ верна, если выполняется следующее неравенство

, (82)

где

· n₁, n₂ – объем соответственно первой и второй выборок;

· R₁ – сумма рангов для выборок меньшего объема (для выборки n₁);

· Z_кр – критическое значение критерия Сиджела - Тьюки: при α = 0,05; Z_кр(0,05) = 1,282; при α = 0,1; Z_кр(0,1) = 1,960.

2.2. Обработка результатов отсеивающих экспериментов

При проведении экспериментальных исследований возникают два противоречивых стремления:

1) упростить процесс исследований путем минимизации числа опытов, что даже в случае активного эксперимента возможно лишь при включении в рассмотрение минимального числа факторов;

2) получить в результате эксперимента наиболее полные сведения об исследуемом объекте, не упустив при этом из рассмотрения ни одного существенного фактора.

Устранить такое противоречие удается лишь путем проведения двухэтапных исследований. На первом этапе проводится отсеивающий эксперимент, в процессе которого по минимально возможному числу опытов выявляются факторы, действительно оказывающие на выходной параметр существенное влияние. На втором же этапе проводятся основные исследования, при которых берутся в рассмотрение только существенные факторы.

Существует целый ряд методов проведения отсеивающих экспериментов, речь о которых и пойдет ниже.

2.2.1. Дисперсионный анализ

Метод предложен в 20‑х годах нынешнего столетия английским математиком Р.Фишером.

Основная задача дисперсионного анализа - оценить влияние каждого из факторов и их комбинаций на выходной параметр, т.е. выделить из всего многообразия воздействующих на изучаемый процесс факторов лишь те, влияние которых наиболее существенно.

Суть дисперсионного анализа заключается в следующем:

Если на выходной параметр действуют взаимно независимые факторы х₁,х_{2, …}х_n, то общую дисперсию обходного параметра D_у можно представить в виде суммы дисперсий, обусловленных отдельными факторами и их комбинациями

D_y = D_x1 + D_x2 +D_x1x2 +…+D_xn.

Анализируя составляющие общей дисперсии, можно оценить вклад (влияние) каждого из исследуемых факторов на выходной параметр.

В том случае, когда надо оценить дисперсии отдельных факторов необходимо изменить их в опытах на нескольких уровнях, а для оценки так называемой остаточной дисперсии, характеризующей разброс величины выходного параметра, опыты необходимо многократно дублировать (не путать с повторными измерениями выходного параметра в опытах).

Отсюда следует, что дисперсионного анализа необходимо иметь экспериментальный материал достаточно большого объема. Кроме высокой трудоемкости предварительных исследований, дисперсионный анализ характеризуется и довольно трудоемкой и сложной вычислительной процедурой. Но и это еще не всё. Изучаемые факторы должны быть независимыми, а выходной параметр - иметь нормальное распределение.

По указанным выше причинам на этом рассмотрение дисперсионного анализа мы и закончим, поскольку с полной уверенностью можно говорить о том, что вы им в своей инженерной практике едва ли захотите воспользоваться.

Если желающие все же найдутся, то на этот случай я их адресую к наиболее популярному и полному изложению дисперсионного анализа, представленному в следующей книге: Хьютсон А. Дисперсионный анализ. - М.: Статистика, 1971. – 375 с.

2.2.2. Метод случайного баланса

Метод предложен в 1956 г. Саттерэвайтом. Метод случайного баланса используется для количественного выявления факторов, действительно оказывающих существенное влияние на выходной параметр, т.е. для выявления так называемых доминирующих факторов.

Применение метода случайного баланса предполагает, что при проведении отсеивающего эксперимента имеется возможность изменять входные параметры по определенному плану (активный эксперимент).

Для проведения отсеивающего эксперимента по методу случайного баланса обычно используют матрицу полного или дробного факторного эксперимента, выбрав из нее случайным образом определенное число опытов. В результате такого отбора полученная матрица отсеивающего эксперимента является случайно сбалансированной. Отсюда и название метода - метод случайного баланса.

Процедуру выбора доминирующих факторов в методе случайного баланса рассмотрим на конкретном примере.

Пример 5. По данным дробного факторного эксперимента, представляющего собой 1/16 реплики от полного факторного эксперимента типа 2⁷, оценить влияние на механическую скорость бурения (y, м/с) следующих 7 факторов:

· нагрузки на долото, х₁, т×с;

· частоты вращения ротора, х₂, об/мин;

· интенсивности промывки (расходы бурового раствора), х₄, с;

· показателя фильтрации бурового раствора, х₅, см³/30 мин;

· диаметра насадки гидромониторного долота, х₆, мм;

· плотности бурового раствора, х₇, кг/м³;

Уровни факторов приведены в табл. 15, а матрица планирования и результаты опытов – в табл. 16.

Таблица 15

Уровни факторов

Таблица 16

Матрица планирования и результаты опытов

Продолжение таблицы 16

Для визуального выделения доминирующих факторов по результатам эксперимента строят диаграммы рассеяния, число которых равно числу факторов.

В качестве иллюстрации рассмотрим построение диаграммы рассеяния для фактора х₁. Для этого определим среднее значение выходного параметра у в опытах, когда фактор х₁ находился на нижнем (–1) и верхнем (+1) уровнях:

;

.

По полученным данным в масштабе построим диаграмму рассеяния для факторов х₁.

Рис. 15. Диаграмма рассеяния

Аналогичным образом строится диаграмма рассеяния и для других факторов. Расстояние, обозначенное стрелками, характеризует различия между средними значениями выходного параметра на двух уровнях рассматриваемого фактора и показывает, насколько существенно он влияет на величину выходного параметра (чем больше расстояние, тем больше влияние). Сравнение расстояний на соответствующих диаграммах позволяет расположить исследуемые факторы в порядке снижения их влияния на механическую скорость бурения в следующий ряд: х₃, х₁, х₅, х₇, х₂ и х₆, х₄. При этом факторы х₂ (частоты вращения ротора), х₆ (диаметр насадки) и х₄ (условная вязкость бурового раствора) могут быть признаны как незначимые, т.е. не оказывающие на выходной параметр у существенного влияния. Матрицу планирования опытов, приведенную в табл. 16, можно использовать для проведения отсеивающего эксперимента и при меньшем числе входных факторов.

2.2.3. Метод отсеивания несущественных факторов

с помощью планов Плекетта - Бермана

При числе факторов бóльшем 8, использование случайных выборок из матриц полного или дробного факторного эксперимента, а следовательно, и применение метода случайного баланса в целом становиться нерациональным. Обусловлено это тем, что при числе входных факторов от 9 до 15 приходиться приводить, как минимум, 16 опытов, а при 16 и бóльшем числе факторов – уже 32 опыта.

Для снижения трудоемкости отсеивающих экспериментов, Плекеттом и Берманом были разработаны специальные насыщенные планы, матрица которых имеет размерность и×(и-1), где первый сомножитель – число опытов, а второй – число факторов, каждый из которых зменяяется на двух уровнях: верхнем (+1) и нижнем (-1).

В специальной литературе приводятся планы Плекетта - Бермана для определения влияния на выходной параметр от 7 до 71 фактора.

В бурении возможность одновременно изменять на двух уровнях значения более, чем 10 факторов маловероятно, поэтому в качестве примера использования планов Плекетта - Бермана для отсеивания несущественных факторов рассмотрим матрицу с размерностью 12×(12-1).

Пример 6. По результатам отсеивающего эксперимента, выполненного с использованием планов Плекетта - Бермана для n = 12, оценить существенность влияния на показатель фильтрации бурового раствора (у,см³/30 мин) концентрации (кг/м³) следующих компонентов:

· глинопорошка марки ПББ – (х₁);

· барита – (х₂);

· Ca(OH)₂ – (х₃);

· CaCl₂ - (х₄);

· окзила – (х₅);

· КМЦ - 600 (х₆);

· нефти – (х₇);

· графита – (х₈).

Факторы х₉, х₁₀ и х₁₁ принять фиктивными. Уровни исследуемых факторов приведены в табл. 17, а матрица планирования и результаты опытов – в табл. 18.

Таблица 17

Уровни факторов

Таблица 18

Матрица планирования и результаты опытов

Решение.

1. Найти оценки коэффициентов линейной модели при каждом из факторов по следующей формуле:

, (83)

где

x_ij - уровень j - го фактора в i - м опыте;

y_i -значение выходного параметра в I - м опыте; N - число опытов.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

2. Определить дисперсию воспроизводимости эксперимента с фиктивными факторами (наличие их для этой цели обязательно, в противном случае необходимо дублировать опыты).

, (84)

где

· - число степеней свободы;

· m = 12 - (12 - 1 - 3) - 1 = 12 - 8 - 1 = 3;

· (N -1) - общее число факторов в матрице;

· l - число фиктивных факторов;

· a _li -оценка коэффициентов при фиктивных факторах.

.

3. Определить дисперсию оценок коэффициентов по формуле

; (85)

.

4. Определить существенность влияния исследуемых факторов на выходной параметр.

Фактор оказывает на выходной параметр существенное влияние, если выполняется следующее неравенство:

, (86)

где

· - табличное значение критерия Стъюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы .

Примем α = 0,1, тогда по формуле (17) при m = 3 .

Отсюда следует вывод, что на показатель фильтрации исследуемого бурового раствора существенное влияние оказывают только 2 фактора:

х₁ – концентрация глинопорошка;

х₆ – концентрация КМЦ.

Влияние же остальных компонентов бурового раствора на показатель его фильтрации несущественно.

3. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

3.1. Методы планирования экспериментов для изучения

механизма явлений

При изучении механизма явлений целью экспериментальных исследований является получение зависимости выходного параметра от входных факторов , анализ которой позволяет оценить степень и характер влияния каждого из факторов на выходной параметр, т.е. установить механизм влияния. Основными методами планирования эксперимента, используемыми для изучения механизма явлений, являются следующие:

Ø полный факторный эксперимент (ПФЭ);

Ø дробный факторный эксперимент (ДФЭ);

Ø латинские, греко - латинские, гипергреко - латинские и комбинационные квадраты.

3.1.1. Полный факторный эксперимент

В теории планирования эксперимента связь называется функцией отклика (показывает, как откликается у на изменения х_i). Функция отклика может быть представлена графически и аналитически.

Графическое представление функции отклика называется поверхностью отклика (наглядно только в трехмерном пространстве). Аналитическое представление (выражение) функции отклика называется математической моделью. Найти модель, значит найти вид функции отклика, записать ее уравнение. Всегда, когда предоставляется возможность, искать модель нужно среди полиномов. Полином – это многочлен, т.е. алгебраическое выражение, состоящее из одночленов, соединённых между собой математическими символами сложения или вычитания.

Простейшие полиномиальные модели для 2-х, 3-х и 4-х факторов, соответственно, можно представить в виде (87) - (89).

Уравнения (87) – (89) в математической статистике называются уравнениями регрессии, а константы в₀, в₁, в₂,…, в_i,…, в_ij, - r_j – коэффициентами регрессии.

Эффект взаимодействия двух факторов х₁х₂ называется эффектом взаимодействия первого порядка, трех факторов х₁х₂х₃ – второго порядка и т.д.:

(87 – 89)

Полное число всех возможных эффектов, включая в₀, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента.

Нетрудно определить, что для двух факторов число опытов полного факторного эксперимента равно 4, для трех факторов – 8, для четырех факторов – 16.

Перечисленное нами число факторов (от 2 до 4) обычно удовлетворяет нуждам большинства экспериментов.

Так, установлено, что в исследовательской практике в 87% случаев исследуется влияние двух факторов, в 10% - 3 – 4 и только в 3% - более четырех.

Итак, выбор нужной модели определен (запрограммирован) числом воздействующих на объект исследования факторов.

Теперь остается спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений коэффициентов регрессии выбранной модели.

Однако, прежде чем приступить к планированию эксперимента, необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы.

3.1.1.1. Проверка воспроизводимости опытов

В связи с субъективными и объективными ошибками при измерении факторов, параметров, опытов и невозможностью полного исключения влияния неучтенных факторов, повторное воспроизведение опытных данных не дает результатов, которые бы полностью совпадали.

Суммарная величина всех ошибок называется ошибкой опыта или ошибкой воспроизводимости. Эту ошибку необходимо оценить и по возможности свести к минимуму.

С этой целью каждый опыт повторяется в идентичных (максимально одинаковых) условиях несколько раз. Для экономии времени исследователи обычно ограничиваются двух – или трехкратным повторением каждого опыта или так называемым равномерным их дублированием.

Повторные опыты нельзя путать с повторными измерениями параметра в одном и том же опыте.

Проверку воспроизводимости по схеме с равномерным дублированием опытов проводят в следующей последовательности:

1. Результаты повторных опытов сводят в таблицу, пример которой приведён ниже (табл.19).

Таблица 19

Сводная таблица результатов повторных опытов

Номер серии опыта	Результаты повторных опытов
	у11	у12		у1m
	y21	y22		y2m
...	...	...	...	...	...	...
i
...	...	...	...	...	...	...
N

2. Для каждой серии повторных опытов вычисляют среднее арифметическое значение выходного параметра и дисперсию (D_i).

(90)

где

· y_ij – значение выходного параметра в j - м повторном опыте i-ой серии опытов;

· m – число повторных опытов;

· i = 1, 2, 3, …, n; j = 1, 2, 3, …, m.

3. Проводят проверку воспроизводимости опытов с помощью критерия Кохрена (разд. 2.1.1.3.). Для этого из всех дисперсий находят наибольшую D_max, и делят её на сумму всех дисперсий (формула 75). Табличные значения критерия Кохрена (G_табл) при α = 0,05 приведены в табл. 10. С G_табл связаны следующие числа степеней свободы: m₁ = N; где N – число серий опытов; m₂ = m - 1; где m – число повторных опытов. Если неравенство (75) соблюдается, т.е. G < G_табл, то опыты считаются воспроизводимыми.

4. Если опыты воспроизводимы, то определяют дисперсию воспроизводимости эксперимента (дисперсию, характеризующую ошибку эксперимента).

. (91)

Число степеней свободы этой дисперсии m₂ = N(m - 1).

Найденное значение D_(y) понадобится в дальнейшем при проверке адекватности полученной модели.

Если опыты не воспроизводимы, то нужно попытаться достичь воспроизводимости выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а также использованием более точных методов и средств измерений.

Если никакими способами добиться воспроизводимости опытов не удается, то к такому эксперименту данный метод планирования неприменим.

3.1.1.2. Методика построения полного факторного

эксперимента типа 2^k