Решение. Построим график зависимости давления от объема

Построим график зависимости давления от объема. Первый процесс, происходящий с газом, является изотермическим. Выразим давление через объём и температуру при помощи уравнения Менделеева – Клапейрона . Так как T = const, давление в данном процессе обратно пропорционально объёму, и линия, изображающая данный процесс на p-V диаграмме, будет участком гиперболы начинающейся в точке V₁, p₁ и заканчивающейся в точке V₂, p₂.

Второй процесс, происходящий с газом, является изохорическим. В этом процессе объём не изменяется и, следовательно, на P-V диаграмме он изображается в виде вертикальной прямой, идущей из точки V₂, p₂ в точку V₂, p₃.

Третий процесс происходящий с газом, по условию задачи, изобарический. На P-V диаграмме он будет выглядеть как горизонтальная линия, идущая из точки V₂, p₃ в точку V₃, p₃.

Последовательно изображая все процессы, получим следующую P-V диаграмму.

Рассчитаем работу, совершенную газом. Так как работа, совершаемая газом, - аддитивная величина

А = А₁+А₂+А₃ ,

где А₁ – работа, совершенная в изотермическом процессе,

А₂ – работа, совершенная в изохорическом процессе,

А₃ – работа, совершенная в изобарическом процессе. Каждую из работ можно вычислить по формуле (V₁ и V₂ – начальные и конечные объёмы, занимаемые газом). Применим эту формулу для определения работы А₁. Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона, зависимость p(V) имеет вид .

Следовательно, работа . Множитель RT вынесем из-под знака интеграла как постоянную величину, заменяя её на p₁V₁, получим

.

В изохорическом процессе изменение объёма газа не происходит, следовательно, А₂ = 0.

При вычислении работы А₃ учтём, что давление, как постоянная величина, может быть вынесена из под знака интеграла

.

Для расчёта необходимо знать давление P₃. Так как первый процесс изотермический, . По условию задачи , следовательно,

.

Общая работа А = А₁+А₂+А₃ = 238,63 Дж.

В качестве дополнения заметим, что существует еще один способ определения работы, совершаемой газом, – графический. Как известно, площадь на диаграмме p-V между линией, изображающей процессы, происходящие с газом, и осью объема по модулю равна работе. Если объём газа увеличится, то работа положительна, в противном случае - отрицательна. В ряде случаев этот метод позволяет найти работу, не прибегая к вычислению интегралов.

Ответ: А = 238,63 Дж.

Задача 6 Определите показатель адиабаты g для смеси газов, содержащей гелий массой = 8 г и водород массой = 2 г. Газы считать идеальными.

Дано: = 8г. 1= 4·10-3 кг/моль = 2г. 2 = 2·10-3 кг/моль

-?

Решение

По определению . Рассчитаем удельные теплоёмкости для смеси газов. Первой вычислим теплоёмкость при постоянном объёме. Количество теплоты, необходимое для нагревания смеси газов на ΔT, с одной стороны, по определению теплоёмкости, равно .

С другой стороны, данное количество теплоты может быть представлено как сумма теплот, идущих на нагревание двух газов по отдельности:

.

Приравнивая выражения, получим .

Удельные теплоёмкости газов можно выразить через число степеней свободы молекул и молярные массы газов:

; ,

где = 3, = 5.

После подстановки получаем .

Аналогичные рассуждения дадут для удельной теплоёмкости при постоянном давлении

.

Соответственно показатель адиабаты после подстановки полученных выражений

.

Ответ: .

Задача 7 Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу, изображенному на рисунке, если известно, что V₂ = 2V₁, Т₂ = 2Т₁, а рабочим телом является идеальный трехатомный газ.

Дано: Т2 = 2Т1 V2 = 2V1

-?

Решение

Прежде всего проанализируем процессы, происходящие с газом. Процессы 2 – 3 и 4 – 1, как видно из рисунка, являются изохорическими. В процессах 1 – 2 и 3 – 4 температура прямо про­порциональна объёму. Значит, данные процессы являются изобарическими.

Перерисуем цикл машины в координатах p–V. По условию задачи температуры в начале и конце изохорического процесса отличаются в 2 раза. Значит, во столько же раз должны отличаться давления газа и можно записать, что

p₂ = 2p₁.

КПД цикла, по определению, равен отношению работы, совершенной газом, к количеству теплоты, полученной от нагревателя: .

Работа, совершаемая газом за цикл, численно равна площади, ограничиваемой циклом на диаграмме p-V. В данном случае эта площадь представляет собой прямоугольник, следовательно:

A = (p₂ - p₁)(V₂ - V₁) = p₁V₁.

Тело получает теплоту от нагревателя на участках 1-2 и 2-3 (на участках 3-4 и 4-1 рабочее тело тепловой машины отдаёт теплоту холодильнику): Q_н = Q₁₂ + Q₃₄.

Рассчитаем количество теплоты Q₁₂ = С_V(T₂ - T₁). С_V = 3R - молярная теплоемкость трёхатомного газа при постоянном объёме. Учтем, что для трёхатомного газа число степеней свободы i = 6. Т₁ и Т₂ температуры в соответствующих точках цикла. Раскрывая скобки и учитывая, что RT₁ = p₁V₁; RT₂ = p₂V₁ = 2p₁V₁, получим

Q₁₂ = 3R (T₂-T₁) = 3 ( RT₂- RT₁) = 3(2p₁V₁ - p₁V₁) =3 p₁V₁.

Аналогично, можно записать Q₂₃ = С_p(T₃-T₂). С_р = 4R – молярная теплоёмкость трёхатомного идеального газа при постоянном объёме. Учитывая, что

RT₃ = p₂V₂ = 4p₁V₁,

запишем

Q₂₃ = 4R (T₃-T₂) = 4(4p₁V₁ – 2p₁V₁) = 8p₁V₁, Q_Н = Q₁₂ + Q₂₃ = 11 p₁V₁.

Рассчитаем коэффициент полезного действия .

Ответ: .

Задача 8 В двух сосудах одного и того же объёма находится гелий массой 10 г ( ₁= 4·10^-3 кг/моль) и азот массой 56 г ( ₂ = 28·10^-3 кг/моль). Давление и температура газов одинаковы. Сосуды соединяют и начинается процесс диффузии. Определить изменение энтропии системы в данном процессе.

Дано: m1 = 10 г =0,01 кг 1 = 4 г/моль = 0,004 кг/моль m2 = 56 г = 0,056 кг 2 = 28 г/моль = 0,028 кг/моль

ΔS -?

Решение

Процесс диффузии в данной задаче можно рассматривать как процесс изотермического расширения. В этом случае изменение энтропии гелия

.

Так как процесс изотермический, Q₁ = A₁. Вычисляя работу в изотермическом процессе, получим

.

В последней формуле учтено, что V₂ = 2V₁, так как по условию объёмы обоих сосудов равны. Следовательно, .

Аналогичные вычисления для второго газа дают .

Полное изменение энтропии всей системы

.

Ответ: .

Поиск по сайту: