АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение системы по формулам Крамера

Читайте также:
  1. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  2. I. Формирование системы военной психологии в России.
  3. I.5.4. Решение задачи линейного программирования
  4. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  5. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  6. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  7. II этап: Решение задачи на ЭВМ в среде MS Excel
  8. II этап: Решение задачи на ЭВМ средствами пакета Excel
  9. II. Органы и системы эмбриона: нервная система и сердце
  10. II. Решение логических задач табличным способом
  11. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  12. II. Экономические институты и системы

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

;

Ответ: ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.



Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательнымфрагментом оформления задания является следующий фрагмент: « , значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

‡агрузка...

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Система линейных уравнений:

Определители:

 

Решение:

Пример:

Определители:

 


Занятие № 4

Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида

План занятия


    1. Актуализация знаний (проверка знания теории и выполнения практических заданий).

    2. Решение задач с использованием алгоритма Евклида.

    3. Постановка домашнего задания.

 

Оборудование: заполненные конспекты – заготовки предыдущей лекции, карточки с заданиями для фронтальной и групповой работы.


^ Ход занятия


  1. Актуализация знаний.Проведение первого этапа занятия – практикума учитель может спланировать по своему усмотрению. Необходимо организовать проверку выполнения домашнего задания, включающего как теоретические вопросы, так и практические задания.

    1. ^ Решение задач с использованием алгоритма Евклида.


Задания для решения выбираются по принципу: от простого к сложному. Для овладения методом решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида можно предложить вначале решить уравнения, не связанные, с какой либо реальной ситуацией. Например, № 6 (в, г). Затем можно предложить решение текстовых задач на составление линейных диофантовых уравнений. Например, № 9, 10. Все задания указаны из Приложения 1. Задания можно выполнить в группах, а затем проверить полученные ответы. Ниже приведем решение задачи №9.

Неотъемлемой частью занятия – практикума является решение и нестандартных задач, заданий повышенной трудности. В процессе их выполнения можно использовать прием разбиения на подзадачи. К таким заданиям можно отнести и задачу № 11, которую мы далее рассмотрим.

Заметим, что в ходе решения задач, учащиеся могут опираться на заполненный опорный конспект предыдущей лекции, в котором выделен способ решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.

^ Задача №9. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3, 5 т и 4, 5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно взять для одного рейса?

Решение.

Пусть x машин по 3,5 т.; у машин по 4, 5 т. Составим и решим уравнение: 3,5х+4,5у=53. Перейдем к уравнению с целыми коэффициентами, например, умножим обе части уравнения на 2. Получим: 7х+9у=106.

НОД(7, 9)=1, уравнение имеет целые решения.

Так как t – принимает целые значения, то системе неравенств удовлетворяют значения t=-47 и t=-46. Получим решение диофантова уравнения в натуральных числах:

^ Таким образом, для одного рейса можно взять:

А) 1 машину вместимостью 3,5 т и 11 машин вместимостью 4,5 т;

В) 10 машин вместимостью 3,5 т и 4 машины вместимостью 4,5 т.

Полезно обратить внимание на то, какой из возможных вариантов будет наиболее эффективным для работы предприятия с экономической точки зрения (экономия бензина, экономия средств на оплату труда водителям и т.д.).

^ Задача №11. Школа получила 1 млн. руб. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без сдачи). Администрации школы предложили, оборудование стоимостью 3000, 8000 и 12000 руб. за единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование. Укажите один из способов.

Решение.

В ходе обсуждения идеи решения данной задачи, необходимо выяснить: что дано, что неизвестно в условии, как связаны между собой данные и искомые. Затем переходить к составлению математической модели задачи.

1) составление системы уравнений.

Пусть приобретено x единиц оборудования по 12000 руб., y единиц оборудования по 8000 руб., z единиц оборудования по
3000 руб.

Всего приобретено 100 единиц оборудования, т.е. x+ y + z = 100, причем на приобретение 100 единиц оборудования затрачено 1 млн. руб., т.е.

12000 x + 8000 y + 3000 z = 1 000 000,

12x + 8y + 3z = 1000.

Таким образом, получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Вопрос учителя: всегда ли задача будет иметь решение? Иначе: какими
должны быть x, y, z ?

( ответ: x>0, y>0, z>0)

2) обсуждение решения системы.

Во-первых, исключим z, путем вычитания из второго уравнения первого, умноженного на 3. Следовательно, получаем диофантово уравнение 1-ой степени с двумя неизвестными 9 x+ 5 y = 700.

Во-вторых, его можно решить способом с использованием алгоритма Евклида.

3) оформление решения задачи.

Так как уже получили уравнение, которое решается известным способом, то оформление решения можно предложить выполнить учащимся дома. В результате решения получается, что приобрести оборудование библиотека может шестью способами. Укажем одно из частных решений задачи: x=65, y=23, z=12, т.е. школа на 1 млн. руб. может
приобрести 65 единиц оборудования по 12 тыс. руб., 23 единицы оборудования по 8 тыс. руб., 12 единиц оборудования по 3 тыс. руб.

3. Постановка домашнего задания.

В качестве домашнего задания можно преложить учащимся решить задачи № 2; №3; №5 из Приложения 1 с использованием алгоритма Евклида.


Занятие № 5

Решение диофантовых уравнений с использованием

цепной дроби

План занятия совпадает с планом школьной лекции на указанную тему.

План лекции


  1. Понятие цепной дроби. Представление рациональных чисел в виде цепной дроби

  2. Формулы для решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби

  3. Примеры решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби.

 

Оборудование: конспект – заготовка лекции на доске и индивидуальные заготовки для каждого ученика.


Ход занятия

Занятие № 5 по своей структуре аналогично занятию №3. В качестве примеров решения диофантовых уравнений с использованием цепной дроби, можно рассмотреть задания из Приложения 1. Заметим, что можно взять уже ранее решенные задачи и выполнить их решение новым способом. Конец формы

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |


Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.017 сек.)