|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод подстановки. 1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестноеy:1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y: x = (c – by) / a. (2) 2) Подставляем во второе уравнение вместо x: d (c – by) / a + ey = f. 3) Решая последнее уравнение, находим y: y = (af – cd) / (ae – bd). 4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2): x = (ce – bf) / (ae – bd). П р и м е р. Решить систему уравнений: Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y:
x = (2 y + 4) / 3. Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y: (2 y + 4) / 3 + 3 y = 5,откуда y = 1.
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в выражение для х: x = (2 · 1 + 4) / 3, откуда x = 2.
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем. 1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их: Отсюда получаем: y = (af – cd) / (ae – bd). 2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1): ax + b(af – cd) / (ae – bd) = c. 3) Находим другое неизвестное: x = (ce – bf) / (ae – bd).
П р и м е р. Решить систему уравнений: методом сложения или вычитания. Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их: отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение (а в первое можно?): 3 x + 9 = 15, отсюда x = 2.
Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
x = (ce – bf) / (ae – bd), (3) y = (af – cd) / (ae – bd). Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ: , который будет обозначать выражение: ps – qr. Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s: и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак «+» берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак «–» - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например, Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3): Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. П р и м е р. Решить систему уравнений используя правило Крамера. Р е ш е н и е. Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = – 3, f = 14. Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:
1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a: d ≠ b: e, в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4); 2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a: d = b: e = c: f, в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух. П р и м е р. В системе уравнений и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений. Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два одинаковых уравнения: т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого бесконечное множество решений.
3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f, в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения. П р и м е р. В системе уравнений но отношение свободных членов 7 / 12 не равно 1 / 3. Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой. Разделив второе уравнение на 3, мы получим: Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то же выражение 2 x – 3 y не может быть одновременноравно и 7, и 4.
Гельфонд А. О. (популярные лекции по математике) М.: Наука, 1978, cc. 8 — 18. 7.4.4.7.1. Случай, когда коэффициент c отличен от нуля Определение и простейшие свойства взаимно простых чисел см. здесь.
(популярные лекции по математике) М.: Наука, 1978, cc. 9 — 18. 7.4.4.7.1.1. Алгоритм нахождения конкретного решения, когда коэффициент c отличен от нуля Нахождение формул решений для случая c = 0 см. здесь.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.) |