Решение. 1. Расстояние d между точками A(x1 ; y1) и B(x2; y2) определяется по формуле

1. Расстояние d между точками A(x₁ ; y₁) и B(x₂; y₂) определяется по формуле

d= (1)

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент прямой АВ найдём, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом .

У нас то есть откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдём её угловой коэффициент:

Далее т.е.

3. Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой

(3)

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящие в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС. Подумайте, как бы Вы стали искать внутренние углы А и С треугольника АВС?

Подставив ранее вычисленные значения и в (3), находим:

4. Для составления уравнения медианы АЕ найдём сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС:

Теперь, подставив в (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

5. Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом , которое имеет вид

(4)

и условием перпендикулярности прямых АВ и СD, которое выражается соотношением , откуда Подставив в (4) вместо значение , а вместо координаты точки С, получим уравнение высоты CD:

(CD).

Для вычисления длины высоты CD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки до заданной прямой с уравнением , которая имеет вид

(5)

Подставив в (5) вместо координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

Треугольник АВС, высота CD, медиана AE, прямая EF и точка М построены в системе координат xOy на рис. 1.

Задача 3. Найти пределы: 1) .

2) .

При подстановке вместо переменной х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой

ax ² + bx + c = a (x – x ₁)(x – x ₂),

где х ₁, х ₂ – корни квадратного трехчлена ax ² + bx + c.

У нас

2 х ² – 3 х – 9 = 2(х – 3)(х + ),

так как дискриминант квадратного трехчлена D = 9 – 4 · 2 · (– 9) = 81, а следовательно,

х ₁ = 3, х ₂ = – .

Аналогично

х ² – х – 6 = (х – 3)(х + 2)

Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:

.

3) .

Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:

.

4) .

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

.

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

.

Задача 4. При решении всех последующих примеров кроме таблицы производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

а) [ f (x) ± φ(x)]΄ = f ΄(x) ± φ΄(x);

б) [ f (x) · φ(x)]΄ = f ΄(x)φ(x) + f (x)φ΄(x);

в) ;

г) если задана сложная функция y = f (u), где u = φ(x), то есть y = f (φ(x)); если каждая из функций y = f (u) и u = φ(x) дифференцируема по своему аргументу, то

.

1)

.

2) ;

.

3) ;

.

4) ;

.

Задача 5. Исследуйте на зкстремум функцию:

z = 2x² – xy + 3y² – 2x – 11y + 1.

Решение. Находим частные производные функции.

Чтобы найти частную производную (первого порядка) функции нескольких переменных следует найти обыкновенную производную функции одной переменной, считая, что все остальные переменные являются постоянными.

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений

откуда х = 1; у = 2. Таким образом, стационарной является точка М (1, 2).

Частные производные от частной производной первого порядка функции нескольких переменных называются частными производными второго порядка.

Находим значения частных производных второго порядка в точке М:

Составляем выражение

Так как и , делаем вывод о наличии минимума в точке М (1, 2). При этом минимальное значение функции равно z _min = -11.

Задача 6. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Применим подстановку . Тогда и

.

Задача 6а. Найти интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям

.

Положим, что .

Тогда . Следовательно,

Задача 7. Требуется проинтегрировать уравнение: .

Решение. Представим уравнение в форме дифференциалов: или . Поделим обе части уравнения на ху.

Получим: . После интегрирования имеем: или . Здесь произвольная постоянная записана в виде , при этом . Используя свойства логарифмов, запишем или , но за счёт знака произвольной постоянной у = хС.

Поиск по сайту: