Пример 3. Найти решение уравнения

Найти решение уравнения

Решение:
Находим точки, которые разбивают ось на области знакопостоянства

Определяем знаки подмодульных функций на этих областях

Раскрываем модули и вычисляем

Второе и третье значение не принадлежат области, следовательно уравнению отвечает только x=-4.

Пример 4.
Найти решение уравнения

Решение:
Есть квадратный трехчлен который сводится к решению двух уравнений

Решаем каждое из квадратных уравнений. Дискриминант у них будет одинаковый

Находим корни первого уравнения

и второго

Обозначенные корни уравнения не относятся области на которой искали решение. Окончательно получим

Пример 5.
Найти решение уравнения

Решение:

Точка x=-4 делит область на интервалы

На первом интервале получим квадратное уравнение

на втором соответственно следующее

Вычисляем дискриминант первого


и корни

Второе уравнение будет иметь решения

Два корня отпадают, а два являются решениями

Пример 6.
Найти решение уравнения

Решение:
Схема решения предыдущая. Находим нули

Делим область на пять интервалов в которых находим знаки функций

Раскроем модули для первой и пятой областей

Данные точки принадлежат краю области, однако при подстановке уравнение превращается в тождество.
Второй интервал

превращается в тождество, следовательно все точки интервала включая краями являются решениями.
Третий интервал


дает два корня, которые удовлетворяют исходное уравнение с модулями.

На четвертом интервале уравнение превратится в тождество,

это означает, что все точки из интервала являются решениями.
Таким образом, решением будут два промежутка

Пример 7.
Найти решение уравнения

Решение:
Имеем квадратное уравнение под модулем, кроме того переменная в нем также содержится под модулем. Такого рода задачи вызывают немало трудностей при решении у начинающих, но для профи такие примеры не сложные. В первую очередь избавляемся модуля у переменной.

Такого рода примеры приводят к большому количеству областей, поэтому можно решать применяя разбиение на промежутки, а можно решать самые уравнения, а после того проверять решения подстановкой.

Оба уравнения при раскрытии модулей дают следующие

Находим корни первого уравнения

Решаем второе квадратное уравнение

С третьего уравнения




получаем два решения.

Из последнего - 4 уравнения



получаем два корня. Всего получили 8 решений уравнения с модулями. Проверка подстановкой показывает что они все подходят.

Все рассмотренные примеры достаточно просто решаются в математическом пакете Maple. Код программы с решениями приведен ниже

> restart;
> Q1:=abs(5*x-10)=11;

> solve(Q1,x);

> Q2:=abs(1-5*x)=abs(2-x);
> solve(Q2,x);


> Q3:=abs(x+3)-abs(x-5)=3*x+4;
> solve(Q3,x);


> Q4:=x^2-5*abs(x)-24=0;
> solve(Q4,x);


> Q5:=x^2-4*abs(x+4)=28;
> solve(Q5,x);


> Q6:=abs(x^2-9)+abs(x^2-16)=7;
> solve(Q6,x);


> Q7:=abs(x^2-6*abs(x)+4)=1;
> solve(Q7,x);

Поиск по сайту: