Решение нелинейных уравнений

В практических вычислениях довольно часто приходится сталкиваться с необходимостью решения уравнений вида

(4.1)

где — заданная функция. Такие уравнения могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными (т.е. неалгебраическими, например, тригонометрическими или логарифмическими и т.п.).

Все методы решения нелинейных уравнений можно разделить на две группы: аналитические и итерационные.

Аналитические методы позволяют найти точное решение уравнения (4.1) с помощью формул. Эти методы, как правило, работают на достаточно узком классе уравнений: квадратных, кубических, биквадратных, тригонометрических, показательных и логарифмических специального вида.

Итерационные (численные) методы могут быть использованы для нахождения корней достаточно широких классов уравнений. Суть этих методов в том, что они на каждой итерации формируют новое приближение корня уравнения (4.1), которое всё меньше и меньше отличается от точного его точного значения. Процесс вычисления корня завершается, когда полученное приближение отличается от точного значения корня на величину заданной точности.

Численное решение уравнения (4.1) происходит в два этапа. На первом этапе происходит отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых интервалов, каждый из которых содержит ровно один корень уравнения. На втором этапе происходит уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной точностью.

Процедура отделения корней опирается на следующую теорему Больцано-Коши из математического анализа

Пусть 1) функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке ;

2) функция на концах замкнутого промежутка принимает значения разных знаков;

3) монотонна на ;

Тогда между внутри интервала необходимо найдётся единственная точка — корень уравнения (4.1).

Результатом этапа отделения корней служит начальное приближение к корню, которое будет использовано на этапе уточнения корня.

На практике наиболее часто используют табличный, графический и аналитический способы отделения корней.

1. Табличный способ отделения корней предполагает следующую последовательность действий:

(а) задать интервал, на котором требуется найти корни уравнения (4.1);

(б) вычислить значения функции в промежуточных точках, отстоящих друг от друга на постоянную величину и затабулировать функцию;

(в) выбрать интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков;

(г) в качестве начального приближения корня взять середины интервалов, выбранных в предыдущем пункте.

1. Графический способ отделения корней предполагает следующую последовательность действий:

(а) задать интервал, на котором требуется найти корни уравнения (4.1);

(б) построить график функции ;

(в) Визуально найти точку пересечения графика функции с осью абсцисс и взять в качестве начального приближения к корню абсциссу этой точки.

1. Аналитический способ отделения корней предполагает следующую последовательность действий:

(а) задать интервал, на котором требуется найти корни уравнения (4.1);

(б) найти все корни производной ;

(в) затабулировать функцию в точках, полученных в предыдущем пункте и на концах области поиска корней уравнения (4.1);

(г) выбрать интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков;

(д) в качестве начального приближения корня взять середины интервалов, выбранных в предыдущем пункте.

Уточнение корней осуществляется с помощью специального инструмента «Подбор параметра»

Пример

Отделить корни и найти их с точностью до 10^-5.

1. Отделение корней

Обозначим Находим производную Вычислим корень производной:

Составим таблицу знаков функции , полагая равным:

а) критическим значениям функции (корням производной или близким к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений аргумента ):

	+	—	+

Так как происходят две перемены знака функции, то уравнение имеет два действительных корня. Чтобы завершить операцию отделения корней, следует уменьшить промежутки, содержащие корни, так, чтобы их длина была не больше 1. Для этого составим новую таблицу знаков функции :

	+	—	—	+

Отсюда видно, что корни заключены в следующих промежутках:

2. Построим график функции на отрезке, содержащем оба корня и .

Для этого:

Построить таблицу функции на отрезке [-1.5;2] с шагом h=0.5.

а) В ячейку A1 записать имя аргумента , а в ячейку А2 — название функции .

б) В ячейку В1 записать нижнюю границу отрезка задания функции — -1.5, а в ячейку В2 — формулу вычисления значения функции , аргумент которой размещен в том же столбце, но строкой выше.

в) Выделяем ячейку В1, задаём команду Правка>Заполнить>Прогрессия, в открывшемся диалоговом окне Прогрессия заполнить окошко «Шаг» значением «0.5», а окошко «Предельное значение» — значением «2».

г) Копируем формулу из ячейки В2 в ячейки С2:I2.

Построить график функции на отрезке [-1.5;2] с шагом h=0.5.

Для этого:

а) Выделить диапазон ячеек В1:I2.

б) На панели инструментов Стандартная нажать кнопку Мастера диаграмм.

в) На первом шаге Мастера диаграмм выбрать тип диаграммы Точечная, а вид — две пересекающиеся гладкие кривые.

г)Нажать кнопку Далее для перехода ко второму шагу.

д) На втором шаге выбрать вкладку «Ряд» и в окошке «Имя» записать формулу-определение для функции : «y=5^x-6x-3» и нажать кнопку Далее для перехода к третьему шагу.

е) Выбрать вкладку «Заголовки», а затем

• в окошке «Название диаграммы» записать «График функции y=5^x-6x-3»,
• в окошке категорий «Ось Х» записать Х,
• в окошке значений «Ось Y» записать Y,
• нажать кнопку «Готово».

Рис.2

Поиск по сайту: