АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод простой итерации. Пусть дана система линейных уравнений

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  3. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  8. I. Методические основы
  9. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  10. I. Организационно-методический раздел
  11. I. Предмет и метод теоретической экономики
  12. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.

Пусть дана система линейных уравнений. Предполагая, что диагональные коэффициенты

,

разрешим i –ое уравнение системы относительно xi

Полученную эквивалентную систему будем решать методом последовательных приближений.

Выберем нулевое приближение неизвестных xi(0), . В качестве xi(0) могут быть:

- значения, полученные путем решения системы прямым методом;

- столбец свободных членов преобразованной системы ;

- нулевые значения;

- произвольные значения.

Далее последовательно строим приближения

Первое

Второе

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения xi(k) не станут близкими к xi(k-1). Близость этих значений можно охарактеризовать максимальной абсолютной величиной их разности

,

так называемый критерий по абсолютным отклонениям или максимальной относительной величиной их разности.

,

так называемый критерий по относительным отклонениям (можно использовать при ).

При выполнении одного из этих условий итерационный процесс называется сходящимся.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов системы удовлетворяли условию ,

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняются строго.

Это условие является достаточным для сходимости, но не является необходимым, то есть для некоторых систем итерации сходятся и при невыполнении этих условий.

Отметим, что сходимость итерационного процесса не зависит от выбора начального приближения xi(0). От выбора xi(0) зависит скорость сходимости.

Достаточно жесткое условие сходимости не позволяет решить данным методом любую систему линейных уравнений. Однако, если det A≠0, то такую систему можно привести к эквивалентной системе (с помощью линейного комбинирования уравнений исходной системы), удовлетворяющей условию сходимости.

Под линейным комбинированием понимают элементарные преобразования:

- перестановка двух уравнений;

- умножение всех элементов уравнения на одно и то же число отличное от нуля;

- прибавление к элементам какого-либо уравнения соответствующих элементов другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

В результате преобразований матрица системы должна быть эквивалентной исходной. Для проверки эквивалентности проверяют определители, которые по модулю должны быть равными, то есть могут отличаться только знаком.

Пример

Преобразуем систему, чтобы выполнялось условие сходимости

или

Преобразуем систему к виду расчетному

Или вторым способом


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)