Теорема. Для того, чтобы выражение Δ= P(x;y)dx+Q(x;y)dy, где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости Оху

Для того, чтобы выражение Δ = P(x;y)dx+Q(x;y)dy, где функции P(x;y) и Q(x;y) и их частные производные и непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

=

Необходимость

Пусть Δ есть полный дифференциал, т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

Учитывая, что du(x;y)= dx+ dy, имеем:

P(x;y)= ; Q(x;y)= .

Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем

= и = .

А так как смешанные частные производные и равны между собой, получаем = .

Достаточность

Пусть в области D выполняется условие = . Покажем, что существует функция u(x;y) в области D такая, что

du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:

= P(x;y) и = Q(x;y).

Если в уравнении = P(x;y) зафиксировать у и проинтегрировать его по х, то получим:

u(x;y)= .

Здесь произвольная постоянная с= зависит от у. В решении

u(x;y)= не известна лишь . Для ее нахождения продифференцируем данную функцию по у:

.

Используя второе равенство = Q(x;y), можно записать:

.

Отсюда .

В этом равенстве левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть равенства зависит только от у.

Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что производная равна 0. Действительно,

= =

= в силу условия = .

Из равенства находим :

, с-const.

Подставляя найденное значение для в равенство u(x;y)= , находим функцию u(x;y) такую, что du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Таким образом, при решении ДУ вида P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 сначала проверяем выполнение условия = . Затем, используя равенства = P(x;y) и = Q(x;y), находим функцию u(x;y). Решение записываем в виде u(x;y)=с.

Поиск по сайту: