Структура общего решения ЛНДУ второго порядка

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

,

где , , – заданные, непрерывные на (a;b) функции. Уравнение

,

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ , называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема (структура общего решения ЛНДУ):

Общим решением у уравнения является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения , т.е. .

Убедимся, что функция – решение уравнения . Так как есть решение уравнения , а – решение уравнения ,

то и .

В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения .

Покажем теперь, что функция

является общим решением уравнения . Для этого надо доказать, что из решения можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

, .

Продифференцировав функцию и подставив начальные условия в данную функцию и ее производную, получим систему уравнений:

где , с неизвестными и . Определителем этой системы является определитель Вронского для функции и в точке . Функции и линейно независимы, т.е. . Следовательно, система имеет единственное решение:

и .

Решение является частным решением уравнения , удовлетворяющим заданным начальным условиям

, .

Теорема доказана.

Поиск по сайту: