АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однородные дифференциальные уравнения

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. V2: Применения уравнения Шредингера
  5. V2: Уравнения Максвелла
  6. VI Дифференциальные уравнения
  7. Алгебраические уравнения
  8. Алгебраические уравнения
  9. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  10. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)
  11. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения
  12. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Функция y=φ (x,у) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λn , т.е.

f (λ . x; λ . y)= λn . f (x, y).

 

Дифференциальное уравнение y’= f (x, y) называется однородным, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное ДУ y’= f (x, y) можно записать в виде

Если f (x, y)- функция нулевого порядка, то, по определению, f (x, y)= f (λ . x; λ . y)

Положив , получаем:

 

Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки).

или, что то же самое, y=u x.

Действительно, подставив y=ux и y’=u’x+u в уравнение , получаем u’x+u= или = -u, т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

 

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
Оно будет однородным, если P(x, y) и Q(x, y)- однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)