АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения, допускающие понижение порядка

Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  3. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  4. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  5. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  6. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  7. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  8. А. Блага высшего порядка в своем характере благ обусловлены наличием в нашем распоряжении соответственных комплементарных благ.
  9. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  10. Анализ порядка определения и формирования цены ДР.
  11. Анализ случаев нарушения безопасности движения с установлением виновных и конкретных нарушений правил и порядка работы
  12. Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка

 

 

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

 

Рассмотрим 3 типа уравнений, допускающих понижение порядка.

 

1. Пусть дано уравнение y’’=f(x). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y’=p(x). Тогда y’’=p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение у’=р(х). Получим общее решение заданного уравнения y’’=f(x).

 

2. Пусть дано уравнение y’’=f(x;y’), не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у’=р, где р=р(х) – новая неизвестная функция. Тогда у’’=p’ и уравнение y’’=f(x;y’) принимает вид р’=f(x;p). Пусть р= - общее решениеполученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ: y’= . Оно имеет вид y’’=f(x). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения y’’=f(x;y’) будет иметь вид

у = .

Частным случаем уравнения y’’=f(x;y’) является уравнение y’’=f(y’), не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), y’’=p’= . Получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными.

 

3. Рассмотрим уравнение y’’=f(y;y’), которое не содержит явно

независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая y’=p. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)):

, т.е. = . Теперь уравнение y’’=f(y;y’) запишется в виде =f(y;p).

Пусть р= является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на y’, получаем y’= - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения y’’=f(y;y’):

.

Частным случаем уравнения y’’=f(y;y’) является ДУ y’’=f(y). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’=p(y), y’’= .

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.002 сек.)