 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Рассмотрим ЛОДУ второго порядка:
И установим некоторые свойства его решений.
Теорема:
Если функции 
и 
являются частными решениями уравнения , то решением этого уравнения является также функция
,
где 
и 
- произвольные постоянные.
Подставим функцию 
и ее производные в левую часть ЛОДУ .
Получаем: 
так как функции 
и 
- решения уравнения и, значит, выражения в скобках тождественно равны 0.
Таким образом, функция также является решением уравнения .
Из теоремы, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения ,
То решениями его будут также функции у= + и у=с .
Функция содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения .
А для ответа на вопрос, может ли эта функция являться общим решением, введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции и называются линейно независимыми на интервале (a;b), если равенство
, где 
, 
R, выполняется тогда и только тогда, когда = =0.
Если хотя бы одно из чисел или отлично от 0 и выполняется равенство , то функции и называются линейно зависимыми.
Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан.
Для двух дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид
W(x)= 
.
Имеют место следующие теоремы.
Теорема: Если дифференцируемые функции (х) и (х) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен 0.
Так как функции и линейно зависимы, то в равенстве значение или отлично от 0. Пусть 
0, тогда = 
; поэтому для любого х (a;b)
W(x)= 
=0.
Теорема: Если функции (х) и (х) - линейно независимые решения уравнения на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.
Поиск по сайту: