Продолжение основной части

Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) уравнения вида .

Рассмотрим тригонометрическое уравнение: . Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 |: cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg1,5 + πk, k Z

Учитель: Теперь рассмотрим тригонометрическое уравнение: . Разделив обе части уравнения на cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида .

Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0

2 sin2 х - 3 sinх cos х - 5 cos2х =0 |: cos2х ≠ 0

2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2 t2 – 3 t – 5 =0

t1 = -1; t2 = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk, k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.

А, теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание. (Слайд 21)

На оценку	1 вариант	2 вариант
«3»     «4»     «5»

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами и выставите оценки.

На экране проецируются ответы (Слайд 22)

	1 вариант	2 вариант
«3»     «4»   «5»

Учитель: Продолжим рассмотрение основных методов решения тригонометрических уравнений.

в) уравнения, решаемые разложением левой части на множители.

Решим уравнение:

sin х + sin 3 х + sin 5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sin х + sin 5 х) + sin 3 х = 0

2 sin 3х cos 2х + sin 3х = 0

sin 3х (2 cos 2х + 1) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

или

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin3 х + 3sin х - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 3 + 3 · 1 - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х + 3 sin х - 7 - (4 · 1 3 + 3 · 1 - 7) = 0

или 4 (sin 3 х - 1) + 3 (sin х - 1) = 0.

Разложим на множители: 4 (sin х - 1) (sin 2 х + sin х +1) + 3 (sin х - 1) =0

(sin х - 1) (4 (sin 2 х + sin х + 1) + 3) = 0

(sin х - 1) (4 sin 2 х + 4 sin х + 4 + 3) = 0

(sin х - 1) (4 sin 2 х + 4 sin х + 7) = 0, откуда

sin х -1 = 0 или 4 sin 2 х +4 sin х + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k Z решений нет

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4 + 2 cos (x- 2 π)/3 = 3

Вспомним, что – 1 ≤ sin ≤ 1

– 2 ≤ 2 cos (x-2 π)/3 ≤ 2

-----------------------------------

– 3 ≤ sin x/4 + 2 cos(x-2 π)/3 ≤ 3.

Исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin x/4 = 1 и 2 cos (x-2 π)/3 = 2 или

sin x/4 = 1

cos (x-2 π)/3 = 1.

Решая уравнение sin x/4 =1, получим х = 2 π+ 8πn, n Z.

Решая уравнение cos (x-2 π) /3 = 1,

имеем (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n делится нацело на 3, т.е. n = 3 k, k Z.

Значит, решением исходного уравнения являются числа вида х = 2 п + 24 п k, k Z.

А теперь, выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание. (Слайд 23)

На оценку	1 вариант	2 вариант
«3»   «4»   «5»

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами, выставите оценки.

На экране проецируются ответы.

(Слайд 24)

Поиск по сайту: