Модели теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания возникла как один из математических методов для анализа сложных многоканальных объектов. К ним относятся технологические конвейеры, телефонные линии, очереди в супермаркетах, пункты диспетчеризации «скорой помощи» и другие системы массового обслуживания (СМО). СМО получила еще название «теория очередей». Такие, казалось бы, разнородные объекты связывает общий принцип их работы - обслуживание заявок. В качестве каналов обслуживания могут быть и провода, и рельсы, и трубы, а в качестве заявок выступают документы, вагоны, телефонные звонки, денежные купюры, либо клиенты и др.

В СМО каждая заявка проходит 3 основных этапа:

- появление заявки на входе в систему;

- прохождение очереди;

- процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.

Первый этап определяется числом заявок на входе в систему, режимом поступления заявок в систему обслуживания и поведением клиентов.

Число заявок может быть ограниченным. Например, число компьютеров, принадлежащих конкретной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую, или неограниченным, например, автомобили, проходящие через пропускные пункты на границе.

Режим поступления заявок в систему на обслуживание может быть дискретным (например, один пациент на прием к терапевту каждые 20 минут) или случайным, например, обращение больного в регистратуру поликлиники.

Появление клиентов может быть следующим:

- заявка, поступившая в систему, встает в очередь и дожидается обслуживания;

- заявка может покинуть систему, не дождавшись обслуживания.

Характеристики очереди:

- длина;

- правило обслуживания.

Длина очереди может быть ограничена или неограниченна.

Чаще всего правило обслуживания «Первый пришел – первым обслужился», в некоторых случаях к этому правилу могут существовать приоритеты (больные с температурой обслуживаются вне очереди).

Характеристика процесса обслуживания включает в себя конфигурацию системы обслуживания и режим обслуживания.

Конфигурации систем различаются по числу каналов обслуживания (количество касс в супермаркете) и по числу фаз обслуживания (двухфазная система: первая фаза – получить талон к врачу в регистратуре поликлиники, вторая – прием у врача).

Режим обслуживания характеризуется либо постоянным либо случайным временем обслуживания.

Интенсивность входного потока заявок определяется средним числом требований, поступающих в единицу времени (телефонных звонков в минуту, документов за сутки и др.).

Среднее время обслуживания заявки в системе обозначается как t, тогда отношение

определяет интенсивность обслуживания. Она характеризует производительность каждого канала и равна среднему числу заявок, обслуженных в единицу времени.

Отношение

называют коэффициентом загрузки системы.

Для многоканальной системы обслуживания должно выполняться условие

,

где n количество каналов обслуживания, в противном случае очередь будет расти до бесконечности.

Модель 1. Модель одноканальной системы массового обслуживания со случайным входным потоком заявок и случайным временем обслуживания.

Формулы для описания этой модели:

- среднее число клиентов в системе;

- среднее время обслуживания одного клиента в системе (ожидание и обслуживание);

- среднее число клиентов в очереди;

- среднее время ожидания клиента в очереди;

- вероятность отсутствия заявок в системе;

- вероятность того, что в системе больше чем k заявок.

Модель 2. Многоканальная система обслуживания. В системе обслуживания функционируют 2 или более каналов.

Формулы для описания системы:

- вероятность того, что система свободна;

- вероятность того, что в системе находится n заявок;

- вероятность того, что заявка окажется в очереди;

- среднее число заявок в очереди;

- среднее число заявок в системе;

- среднее время нахождения заявки в очереди;

- среднее время нахождения заявки в системе.

Модель 3. Модель с постоянным временем обслуживания, например, автоматическая мойка.

Формулы, описывающие модель:

- средняя длина очереди;

- среднее время ожидания в очереди;

- среднее число клиентов в системе;

- среднее время ожидания в системе.

Поиск по сайту: