Линейная оптимизационная задача

Рассмотрим на примере, как с помощью средства поиска решений решаются линейные оптимизационные задачи.

Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице:

Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:

1. Для определения каких величин строится модель?

2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?

В нашем случае мебельной фабрике необходимо спланировать объем производства столов и шкафов так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются: x1 – количество столов, х2 – количество шкафов.

Суммарная прибыль от производства столов и шкафов равна z = 6*x1 + 8*x2. Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений х1 и х2 таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z.

Перейдем к ограничениям, которые налагаются на х1 и х2. Объем производства шкафов и столов не может быть отрицательным, следовательно:

Нормы затрат древесины на столы и шкафы не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно:

Кроме того, ограничение на трудоемкость не превышает количества затрачиваемых ресурсов

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

Максимизировать

при следующих ограничениях:

Заметим, что данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.

Решим данную задачу с помощью команды Сервис, Поиск решения (Tools, Solver). Средство поиска решений является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис(Tools) отсутствует команда Поиск решения (Solver), то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис, Надстройки, Поиск решения (Tools, Add-ins, Solver).

Отведем ячейки А3 и В3 под значения переменных х1 и х2 (рис. 1).

Рис. 3. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и ограничения

В ячейку С4 введем функцию цели: =6*А3+8*В3, в ячейки А7:А9 введем левые части ограничений:

=0,2*А1+0,1*В3

=0,1*А3+0,3*В3

=1,2*А3+1,5*В3,

а в ячейки В7:В9 – правые части ограничений.

Теперь выберем команду Сервис, Поиск решения (Tools, Solver) и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения (Solver), как показано на рис. 2.

Рис. 4. Диалоговое окно Поиск решения задачи о максимизации прибыли на фабрике

Не забудьте в диалоговом окне Параметры поиска решения (Solver Options) установить флажок Линейная модель (Assume Linear Model). После нажатия кнопки Выполнить (Solve) открывается окно Результаты поиска решения (Solver Results), которое сообщает, что решение найдено (рис. 3).

Рис. 5. Диалоговое окно Результаты поиска решения

Результаты расчета задачи представлены на рис. 4, из которого видно, что оптимальным является производство 102 столов и 166 шкафов. Этот объем производства принесет фабрике 1940 руб. прибыли.

Рис. 6. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи максимизации выпуска столов и шкафов

Поиск по сайту: