АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Билинейная форма и ее матрица

Читайте также:
  1. Bending strain (майысу деформациясы)
  2. bending strain (майысу деформациясы)
  3. CASE-технология создания информационных систем
  4. I Понятие об информационных системах
  5. I. ВВЕДЕНИЕ В ИНФОРМАТИКУ
  6. I. Определите, какое из этих высказываний несет психологическую информацию.
  7. I. Основная форма: помешательство.
  8. I. При каких условиях эта психологическая информация может стать психодиагностической?
  9. II. Довідково-інформаційні документи
  10. II. ОСНОВНОЕ ПОНЯТИЕ ИНФОРМАТИКИ – ИНФОРМАЦИЯ
  11. II. Соціальні відносини як форма прояву соціальних взаємодій.
  12. II. Тип организации верховной власти в государстве (форма государственного правления).

Пусть V - векторное пространство над полем Р.

Определение 1. Билинейной формой называется скалярная функция B от двух векторных аргументов х и у, линейная по каждому аргументу, то есть

В (х 1+ х 2, у) = В (х 1, у) + В (х 2, у), В (х, у 1 + у 2) = В (х, у 1) + В (х, у 2), (1)

В (a х, у) = a В (х, у), В (х, b у) = b В (х, у). (2)

Здесь х, х 1, х 2, у, у 1, у 2 - любые векторы из V; a, b - любые числа из Р.

Пусть задан базис е 1,…, е n векторного пространства. Тогда

х = е i, y = e j. (3)

Используя свойства билинейности функции В, найдем:

В (х, у) = В ( е i, e j) = e i, e j) = e i, e j). (4)

Перепишем равенство (4) в виде

В (х, у) = (5)

где

аij = B (e i, e j). (6)

Определение 2. Матрицей билинейной формы в данном базисе называется матрица

А В = , (7)

составленная из значений билинейной формы на всех парах базисных векторов.

Очевидно, при заданном базисе задание билинейной формы определяет единственную матрицу и обратно, задание матрицы определяет единственную билинейную форму, так как, зная числа aij, мы вычислим значение билинейной формы на любой паре векторов по формуле (5).

Перепишем равенство (5) в матричном виде. Оказывается, его можно записать таким образом

В (х, у) = . (8)

В самом деле, перемножая матрицу-строку слева на квадратную матрицу, получим матрицу-строку вида , а умножая эту матрицу-строку на матрицу-столбец, получим (5).

Договоримся обозначать Мt матрицу, полученную транспонированием матрицы М. Тогда, вспоминая обозначения § 4 главы 1, строку (x 1, …, xn) обозначим [ x ]t, а матрицу-столбец, составленную из координат вектора у, обозначим [ y ]. Перепишем (8) в виде

B (x, y) = [ x ]tA B [ y ].

Определение 3. Билинейная форма называется симметрической, если для любых векторов х и у В (х, у) = В (у, х).

Теорема 1. Матрица симметричной билинейной формы в любом базисе симметрична.

Действительно, из условия симметричности билинейной формы следует, что В (е i, e j) = B (e j, e i), то есть aij = aji, что и означает симметричность матрицы А В.

Теорема 2. Если матрица билинейной формы симметрична хотя бы в одном базисе, то билинейная форма симметрична.

В самом деле, найдем, как выше, В (у, х) = и сравним это выражение с (5). Учитывая, что аij = aji, заключаем, что В (х, у) = = В (у, х)

Пример. Найти матрицу билинейной формы В: R2 ® R

В (x, y) = x1y1 – x1y2 + 2x2y2 в стандартном базисе.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)