Билинейная форма и ее матрица

Пусть V - векторное пространство над полем Р.

Определение 1. Билинейной формой называется скалярная функция B от двух векторных аргументов х и у, линейная по каждому аргументу, то есть

В (х ₁+ х ₂, у) = В (х ₁, у) + В (х ₂, у), В (х, у ₁ + у ₂) = В (х, у ₁) + В (х, у ₂), (1)

В (a х, у) = a В (х, у), В (х, b у) = b В (х, у). (2)

Здесь х, х ₁, х ₂, у, у ₁, у ₂ - любые векторы из V; a, b - любые числа из Р.

Пусть задан базис е ₁,…, е _n векторного пространства. Тогда

х = е _i, y = e _j. (3)

Используя свойства билинейности функции В, найдем:

В (х, у) = В ( е _i, e _j) = e _i, e _j) = e _i, e _j). (4)

Перепишем равенство (4) в виде

В (х, у) = (5)

где

а_ij = B (e _i, e _j). (6)

Определение 2. Матрицей билинейной формы в данном базисе называется матрица

А _В = , (7)

составленная из значений билинейной формы на всех парах базисных векторов.

Очевидно, при заданном базисе задание билинейной формы определяет единственную матрицу и обратно, задание матрицы определяет единственную билинейную форму, так как, зная числа a_ij, мы вычислим значение билинейной формы на любой паре векторов по формуле (5).

Перепишем равенство (5) в матричном виде. Оказывается, его можно записать таким образом

В (х, у) = . (8)

В самом деле, перемножая матрицу-строку слева на квадратную матрицу, получим матрицу-строку вида , а умножая эту матрицу-строку на матрицу-столбец, получим (5).

Договоримся обозначать М^t матрицу, полученную транспонированием матрицы М. Тогда, вспоминая обозначения § 4 главы 1, строку (x _1, …, x_n) обозначим [ x ]^t, а матрицу-столбец, составленную из координат вектора у, обозначим [ y ]. Перепишем (8) в виде

B (x, y) = [ x ]^tA _B [ y ].

Определение 3. Билинейная форма называется симметрической, если для любых векторов х и у В (х, у) = В (у, х).

Теорема 1. Матрица симметричной билинейной формы в любом базисе симметрична.

Действительно, из условия симметричности билинейной формы следует, что В (е _i, e _j) = B (e _j, e _i), то есть a_ij = a_ji, что и означает симметричность матрицы А _В.

Теорема 2. Если матрица билинейной формы симметрична хотя бы в одном базисе, то билинейная форма симметрична.

В самом деле, найдем, как выше, В (у, х) = и сравним это выражение с (5). Учитывая, что а_ij = a_ji, заключаем, что В (х, у) = = В (у, х)

Пример. Найти матрицу билинейной формы В: R² ® R

В (x, y) = x₁y₁ – x₁y₂ + 2x₂y₂ в стандартном базисе.

Поиск по сайту: