Глава 4. Евклидовы пространства. Линейные операторы и квадратичные формы в евклидовых пространствах

Евклидовы пространства. Основные понятия

Определение 1. Евклидовым пространством называется векторное пространство Е над полем действительных чисел, если в нем задана билинейная симметрическая форма В, порождающая положительно определенную квадратичную форму.

Сама билинейная форма В называется скалярным произведением, а скалярным произведением двух векторов х и у называется значение билинейной формы на этих векторах, то есть В (х,у). По традиции, в евклидовых пространствах принято обозначать не В (х, у), а (х, у).

Пример 1. В множестве свободных геометрических векторов (направленных отрезков) введем скалярную функцию от двух векторных аргументов формулой (х, у) = | х || у |cosÐ(x,y).

Из свойств этой функции, которая рассматривалась в аналитической геометрии, следует, что она является скалярным произведением.

Пример 2. В арифметическом п -мерном пространстве R ⁿ для двух векторов х =(х ₁,…, х_п) и у =(у ₁,…, у_п) положим (х, у)= х ₁ у ₁+ х ₂ у ₂+…+ х_пу_п. Легко проверить, что функция (х, у) является скалярным произведением.

Пример 3. В векторном пространстве R (a,b) непрерывных действительных функций, заданных на промежутке [a,b], зададим функцию (f,g) = . Используя свойства интеграла, убеждаемся, что данная функция является скалярным произведением.

Определение 2. Длиной вектора х называется число | х | = .

Из свойств скалярного произведения и определения 2 следует, что длина вектора обладает следующими свойствами:

1) | х | = 0 Û х = 0; 2) |a х | = |a|| х |.

Теорема. В евклидовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского

(х, у)² £ (х, х)(у, у). (1)

Доказательство. Из свойств скалярного произведения следует, что для любого параметра t и векторов х, у справедливо неравенство

(t x - y, t x - y) ³ 0. (2)

Преобразовав левую часть неравенства (2), получим

t ²(x, x) - 2 t (x, y) +(y, y) ³ 0. (3)

Левая часть неравенства (3) представляет собой квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при квадрате переменного. Так как при любом t трехчлен не отрицателен, его дискриминант не больше нуля, то есть

(х, у)² – (х, х)(у, у) £ 0, (4)

но это неравенство эквивалентно неравенству Коши-Буняковского.

Заметим, что из (1) следует, что |(х, у)| £ | х || у |, а учитывая, что (х, у) £ |(х, у)|, получим

(х,у) £ | х || у |. (5)

Учитывая вышесказанное, мы можем дать следующее корректное определение.

Определение 3. Углом между ненулевыми векторами х и у называется угол a, 0£ a £ p, определяемый формулой

cosa = . (6)

Отметим простейшие следствия из неравенства Коши-Буняковского.

Следствие 1. | х + у | £ | х | + | у |.

В самом деле,

| х + у |² = (х + у, х + у) =(х, х) + 2(х, у) + (у, у)£ | х |² + 2| х || у | + | у |² =(| х | + | у |)², откуда и следует наше утверждение.

Следствие 2. (х, у)² = (х, х)(у, у) Û у = t₀ x,

где t₀ - некоторое действительное число.

Необходимость. Пусть дискриминант трехчлена, стоящего в левой части неравенства (3), равен нулю. Тогда квадратный трехчлен имеет единственный двукратный корень t₀ и, следовательно, выполняется тождество

(х, х) - 2 (x, y) + (x, y) = 0. (7)

Равенство (7) можно переписать в виде

( x - y, x - y) =0,

откуда и следует, что х - у = 0.

Достаточность следует из того, что если мы внесем значение вектора у = х в равенство (х, у)² = (х, х)(у, у), то получим тождество.

Поиск по сайту: