И координаты вектора

Система векторов a ₁,…, a _n векторного пространства V называется максимальной линейно независимой системой, если для любого вектора x Î V система a ₁,…, a _n, x линейно зависима.

Определение 1. Векторное пространство V называется конечномерным, если в нем существует, по крайней мере, одна конечная максимальная линейно независимая система векторов.

Определение 2. Базисом конечномерного векторного пространства V называется упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов.

Справедлива следующая

Теорема 1. Любой вектор разлагается по базису и притом единственным образом.

В самом деле, пусть e ₁,…, e _n – базис векторного пространства, а x – любой вектор этого пространства.По определению базиса система векторов e₁,…,e _n, x линейно зависима, аееподсистема e ₁,…, e _n линейно независима. Тогда, по следствию 4⁰ § 2 вектор x единственным образом выражается через базис в виде

x = x ₁ e ₁ + …+ x_n e _n. (1)

Определение 3. Коэффициенты разложения вектора по базису e _1,…, e _n называютсякоординатами вектора в этом базисе.

Если вектор х задан в виде (1), а базис известен, то часто пишут

x = (x ₁,…, x_n).

Пример. Найти координаты многочлена в базисе:

а)

б)

Решение. Координаты вектора в базисе а) получаем сразу по определению

[f(x)]= (3, -1, 2, 4).

Для нахождения координат в базисе б) разложим многочлен по степеням (x-1), пользуясь формулой Тейлора:

Вычисляя значения производных при х=1, получим:

Многочлен можно переписать в виде:

Координатами в указанном базисе будут числа (3, 8, 9, 8).

Теорема 2. Координаты произведения числа на вектор равны произведениям соответствующихкоординат вектора на это число.Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат векторов.

В самом деле, умножая обе части равенства (1) на число a и используя аксиомы векторного пространства, получим:

a x = a(x ₁ e ₁+…+ x_n e _n) = (a x ₁) e ₁ +…+ (a x_n) e _n. (2)

Если задан вектор

y = y ₁ e ₁ +… + y_n e _n,(3)

то с использованием тех же аксиом будем иметь

x+y = (x ₁ e ₁+…+ x_n e _n)+(y ₁ e ₁+…+ y_n e _n) = (x ₁+ y ₁) e ₁+…+(x_n + y_n) e _n. (4)

Из равенств (2), (4) и определения 3 следует справедливость утверждения теоремы.

Те орема 3. Всякий базис состоит из одинакового числа векторов.

В самом деле, пусть имеются два базиса e ₁,…, e _n и f ₁,…, f _m. Так как по теореме 1 каждый вектор одного базиса линейно выражается через векторы другого базиса, то по лемме о двух системах векторов мы получим, что m £ n и n £ m, откуда следует равенство m = n.

Теперь мы можем дать следующее

Определение 4. Размерностью конечномерного векторного пространства называется число векторов в его базисе.

Если размерность пространства V равна n, то или пишут dimV = n, или векторное пространство обозначают V_n.

Определение 5. Система векторов а ₁,…, a _s называется порождающей системой или системой образующих векторного пространства V, если любой вектор из V является линейной комбинацией векторов этой системы.

В этом случае пишут V = < a ₁,…, a _s>.

Теорема 4. Любая конечная порождающая система векторов векторного пространства содержит базис.

Доказательство. Пусть V=< a ₁,…, a _s>. Будем вычеркивать по порядку все нулевые векторы, пока не встретим ненулевой. Перенумеровав, если необходимо, векторы, будем считать, что а ₁¹ 0. Теперь вычеркнем те векторы, которые вместе с вектором а ₁ образуют линейно зависимые системы. Изменив, если необходимо, нумерацию векторов, первый не вычеркнутый вектор обозначим а ₂ и начнем вычеркивать те векторы, которые вместе с векторами а ₁ и а ₂ образуют линейно зависимую систему. Продолжая процесс, получим, что система векторов а ₁,…, a _n – линейно независима, а все системы a ₁,…, a _n, a _i, где i=n +1, …,s, - линейно зависимые. Тогда, по свойству 4⁰ § 2 каждый вектор а _i может быть представлен в виде

a _i = a _{i 1} a ₁+…+a _in a _n, i = n + 1, n +2,…, s. (5)

По определению порождающей системы имеем, что любой вектор х из V есть линейная комбинация векторов этой системы, то есть

x = b ₁ a ₁+…+ b_n a _n + b_{n +1} a _{n +1}+…+ b _s a _s. (6)

Если в (6) внести из (5) выражения векторов а _{n +1},…, a _s, то получим, что каждый вектор х пространства V линейно выражается через линейно независимую систему a ₁,…, a _n, которая в силу этого является максимальной и, следовательно, базисом.

Теорема 5. Всякую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса.

Доказательство. Пусть a ₁,…, a _k - линейно независимая система, а e ₁,…, e _n – некоторый базис пространства V. Очевидно, что V =< a ₁,…, a _k, e ₁,…, e _n >. Применяя к данной порождающей системе рассуждения теоремы 4, мы дополним данную независимую систему до базиса.

Поиск по сайту: