Приведение квадратичной формы к главным осям. Пусть в евклидовом пространстве относительно некоторого ортонормированного базиса е1, ,еп задана квадратичная форма

Пусть в евклидовом пространстве относительно некоторого ортонормированного базиса е ₁,…, е _п задана квадратичная форма

K (x) = (1)

Для квадратичной формы в евклидовом пространстве естественно поставить вопрос о существовании канонического ортонормированного базиса. Выбор канонического базиса и нахождение канонического вида квадратичной формы в этом базисе по исторической традиции называют приведением квадратичной формы к главным осям.

Теорема. Для любой квадратичной формы в евклидовом пространстве существует, по крайней мере, один ортонормированный канонический базис.

Доказательство. Пусть квадратичная форма K (x) в ортонормированном базисе e _i, i = 1,…, n имеет вид(1) и А = || a_ij || - матрицаэтой квадратичной формы в данном базисе. Перейдем к новому ортонормированному базису e _i ¢, i = 1,…, n с матрицей перехода Т. В новом базисе матрица А _К^¢ имеет вид

А _К^¢ = Т^tAT. (2)

В заданном ортонормированном базисе e _i,, i = 1,…, n, матрица A, являясь симметрической, определяет некоторый симметрический оператор j, который в новом базисе будет иметь матрицу

А_j ¢ = T^-1АТ. (3)

По критерию симметричности линейного оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора. Будем считать, что именно этот базис мы выбрали в качестве нового. Но тогда матрица А_j¢ диагональна, причем на диагонали стоят собственные значения базисных векторов нового базиса. Обратимся к матрице квадратичной формы в новом базисе. Так как матрица Т ортогональна как матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному, то T^t= T^-1 и из (2) и (3) мы видим, что А _K ¢ = А_j¢. Это значит, что в новом базисе матрица квадратичной формы диагональна и поэтому квадратичная форма принимает канонический вид.

Пример. Привести квадратичную форму

к главным осям и написать формулы перехода к каноническому базису.

Решение. Найдем собственные векторы линейного оператора, определяемого матрицей данной квадратичной формы. Характеристический многочлен этой матрицы имеет вид:

Корни этого многочлена суть числа Это значит, что в искомом каноническом базисе квадратичная форма будет иметь вид Собственные векторы, относящиеся к собственному числу 9, определяются из системы уравнений

и пропорциональны вектору а ₁ = (1,2,2). Собственные векторы, относящиеся к числу 18, определяются из уравнения

и, следовательно, имеют вид (-2 х ₂-2 х ₃, х ₂, х ₃). Выберем среди этих векторов два ортогональных, например, а ₂ = (2,1,-2) и а ₃ = (2,-2,1). Нормируя векторы а ₁, а ₂, а ₃, получим искомый канонический базис

е ₁¢= (), е ₂¢= (), е ₃¢= ().

Следовательно, формулы перехода будут иметь вид

, .

Поиск по сайту: