В различных базисах

Пусть в n -мерном векторном пространстве V над полем Р задан линейный оператор j, который в базисе e = (e ₁,… e _n) имеет матрицу А_j, а в базисе e ¢= (e ¢₁,…, e ¢ _n) – матрицу А¢_j, причем матрицу перехода от базиса е к базису е ¢ обозначим Т. Тогда имеют место равенства

j е = е А_j, (1)

j е ¢= е ¢А¢_j, (2)

е ¢ = е Т. (3)

Напомним (см.§ 4 гл.1), что (3) есть матричная запись равенств

е ¢₁ = t ₁₁ e ₁+…+ t _{1 n} e _n,

…………………… (3¢)

e ¢ _n = t_{n 1} e ₁+…+ t_nn e _n.

При нахождении образов векторов базиса е ¢ в силу свойств линейного оператора достаточно в (3¢) формально перед каждым вектором приписать значок j, или, что то же самое, в равенстве (3) перед матрицами-строками е ¢ и е приписать j. Иными словами, из (3) имеем

j е ¢ = (j е)Т. (4)

Внесем в (4) значения j е ¢ и j е из (2) и (1), тогда получим

е ¢А¢_j = е А_jТ. (5)

Заменив в этом равенстве е ¢ из (3), придем к равенству

е ТА¢_j = е А_jТ, (6)

откуда следует

ТА¢_j = А_jТ. (7)

Умножая обе части этого равенства слева на матрицу Т^-1, окончательно получаем

А¢_j = Т^-1А_jТ. (8)

Напомним, что ранг произведения матрицы А справа или слева на невырожденную матрицу равен рангу матрицы А. Учитывая это свойство произведения матриц, из (8) получаем что rang А¢_j = = rang А_j. Это значит, что справедливо

Предложение. Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Это предложение дает нам право ввести следующее

Определение. Рангом линейного оператора называется ранг его матрицы в любом базисе.

Пример. Линейный оператор f пространства R³ имеет в базисе

е₁ = (8, -6, 7), е₂ = (-16, 7, -13), е₃ = (9, -3, 7)

матрицу

Найти матрицу В того же преобразования в базисе:

е₁^' = (1, -2, 1), е₂^' = (3, -1, 2), е₃^' = (2, 1, 2).

Решение. Находим матрицу перехода Т от базиса е к базису е′. Получаем:

е₁′ = е₁ + е₂ + е₃,

е₂′ = е₁ + 2 е₂ + 3 е₃,

е₃′ = -3 е₁ - 5 е₂ - 6 е₃.

Выпишем матрицу перехода

Матрица В находится по формуле В = Т^-1АТ.

Поиск по сайту: