|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Приведение квадратичной формы к каноническому видуПусть в векторном пространстве V над полем Р задана квадратичная форма К. Определение 1. Если в векторном пространстве V существует такой базис е 1,…, е n, в котором квадратичная форма принимает вид К (х) = , (1) то этот вид, а также базис e 1,…, e n,называется каноническим. Заметим, что число отличных от нуля коэффициентов a 11,…, ann в (1) равно рангу r квадратичной формы, так как матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид и потому ранг ее совпадает с количеством ненулевых коэффициентов aii. Теорема Лагранжа. Для любой квадратичной формы существует канонический базис. Доказательство мы будем вести индукцией по размерности n векторного пространства V. При n = 1 любой базис можно считать каноническим, так как квадратичная форма имеет в этом случае вид К (х) = . Будем считать теорему справедливой для случая n- 1 и докажем ее для n. Пусть в некотором базисе e 1,…, e n квадратичная форма имеет вид K (x) = . (2) Рассмотрим первый случай, когда среди коэффициентов при квадратах координат вектора х найдется хоть один отличный от нуля. Пусть, например, ann ¹ 0. Составим выражение . (3) Нетрудно проверить, что это выражение содержит такие же слагаемые с координатой xn, что и квадратичная форма (2). Это значит, что если мы вычтем из правой части (2) выражение (3), то получим некоторое алгебраическое выражение, не содержащее xn, то есть (4) Откуда следует, что K (x) = (5) Сделаем переход к новому базису f 1,…, f n, такому, что новые координаты yi вектора х связаны со старыми координатами равенствами y 1 = x 1, …, yn -1 = xn- 1, yn = an 1 x 1+…+ annxn. (6) В новом базисе квадратичная форма К запишется в виде К (х) = g (y 1,…, yn -1) + , (7) где g(y 1,…, yn -1) можно считать некоторой квадратичной формой К 1, заданной на подпространстве L = < f 1,…, f n -1 > размерности n -1 в базисе f 1,…, f n- 1. По индуктивному предположению, в L существует канонический базис этой квадратичной формы, и пусть формулы преобразования координат вектора при переходе к этому базису имеют вид: z 1 = b 11 y 1 +…+ b 1 n -1 yn -1, ……………………… (8) zn -1= bn- 11 y 1+…+ bn- 1 n- 1. Тогда, еcли х Î L, то К 1(х) = g (y 1,…, yn- 1) = . Присоединим к равенствам (8) равенство zn = yn. Тогда эти равенства можно понимать как преобразование координат при переходе к некоторому базису пространства V, в котором квадратичная форма будет иметь канонический вид K (x) = . (9) Рассмотрим второй случай, когда форма (2) в базисе е 1,…, е п имеет такой вид, в котором все коэффициенты при квадратах координат вектора равны нулю, но хотя бы один коэффициент при произведениях различных координат, например а 12, отличен от нуля. Перейдем к такому новому базису, чтобы формулы преобразования координат имели вид х 1 = у 1+ у 2, х 2 = у 1- у 2, х 3 = у 3, …, хп = уп. (10) Но тогда К (х) = … +2 , то есть, по крайней мере, коэффициент при квадрате одной координаты вектора отличен от нуля, и мы можем применить к квадратичной форме вышеприведенные рассуждения. Замечание 1. Канонический вид не единственный. Замечание 2. Пусть квадратичная форма ранга r рассматривается в векторном пространстве над полем С комплексных чисел и имеет канонический вид (1). Тогда, с точностью до нумерации координат, можем считать, что а 11 ¹ 0, …, аrr ¹ 0, ar +1 r +1 = … = ann = 0. Перейдем к новому базису с формулами перехода: …, уr = …, yn = xn. В этом случае квадратичная форма примет вид К (х) = (11) который мы будем называть нормальным. Замечание 3. Пусть квадратичная форма ранга r задана в векторном пространстве над полем R действительных чисел и имеет канонический вид (1). Пусть, как в предыдущем случае, первые r коэффициентов отличны от нуля, причем a 11>0,…, app >0, ap +1 p +1<0, …, arr <0, а остальные равны нулю. Перейдем к новому базису по формулам перехода: …, …, …, В этом случае квадратичная форма примет вид К (х) = (12) Этот вид мы тоже будем называть нормальным видом квадратичной формы в векторном пространстве над полем действительных чисел. Извыше сказанного следует, что любую квадратичную форму, заданную в векторном пространстве над полем действительных или комплексных чисел, можно привести к нормальному виду. Описанный в доказательстве теоремы метод приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом Лагранжа. Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму Решение. Объединяя в одну группу все члены, содержащие х1, и дополняя сумму до полного квадрата, получаем: где Далее объединяем в одну группу все члены, содержащие х2: где
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |