Линейного оператора

Пусть V – n -мерное векторное пространство над полем Р, а j: V®V - линейный оператор.

Определение 1. Собственным вектором линейного оператора j называется ненулевой вектор х, такой, что j х = l х, причем число l называют собственным значением линейного оператора и говорят, что вектор х относится к собственному значению l.

Пусть l - любое фиксированное число из поля Р, j: V®V - линейный оператор. Обозначим V_l - множество всех векторов, удовлетворяющих условию j х = l х. Очевидно, что 0 Î V_l; если же х ¹ 0, то х - собственный вектор, относящийся к числу l. Поэтому V_l состоит из всех собственных векторов, относящихся к числу l и нулевого вектора.

Теорема 1. Множество V_l = { x ½j x = l x } является векторным подпространством пространства V.

В самом деле, " х, у Î V_l и "aÎ Р имеем:

j(х + у) = j х + j у = l х + l у = l(х + у), (1)

j(a х) = aj х = al х = l(a х). (2)

Равенства (1) и (2) говорят о том, что х + у Î V_l и a х Î Р.

Подпространство V_l называется собственным подпространством, относящимся к числу l.

Теорема 2. Собственные векторы, относящиесяк попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство будем проводить индукцией по числу m собственных векторов. При m = 1 теорема верна, так как собственный вектор х ₁, относящийся к некоторому числу l_1, по определению является ненулевым и, следовательно, образует линейно независимую систему. Предположим, что теорема верна для случая m- 1 и докажем, что она верна для m. Для этого составим нулевую линейную комбинацию векторов x ₁,…, x _{m- 1}, x _m

a ₁ x ₁+…+a _{m -1} x _{m -1} +a _m x _m = 0 (3)

и покажем, что она тривиальна. Рассмотрим образы обеих частей равенства (3) при действии линейного оператора j:

a₁j x ₁ +…+a _{m -1}j x _{m -1}+a _m j x _m = 0. (4)

Учтем здесь, что все векторы х ₁,…, x _m здесь – собственные, относящиеся к собственным числам l₁,…,l _m. Тогда получим

a₁l₁ x ₁ +…+ l _{m -1}a _{m -1} x _{m -1} + a _m l _m x _m = 0. (5)

Вычитая из (5) равенство (3), умноженное на число l _m, получим

a₁(l₁-l _m) x ₁+…+a _{m -1}(l _{m -1}-l _m) x _{m -1} = 0. (6)

По индуктивному предположению, векторы x ₁,…, x _{m -1} - линейно независимы, поэтомувсе коэффициенты линейной комбинации в левой части равенства (6) равны нулю, учитывая, что числа l₁,…,l _m попарно различны, получим, что a₁=…= a _{m -1}= 0. Внесем эти значения коэффициентов в (3), получим a _m x _m = 0, а так как х _m ¹ 0, то a _m = 0 и мы видим, что линейная комбинация векторов в левой части (3) – тривиальна, что и требовалось доказать.

Введем следующее

Определение 2. Характеристическим многочленом квадратной матрицы А называется многочлен f (l) = ½A - lE½.

Лемма. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора j в любом базисе имеет один тот же вид.

В самом деле, учитывая (8) § 2 главы 2, и обозначая А_j и А_j¢ - матрицы линейного оператора соответственно в базисах е и е ¢, имеем:

½А_j¢ - lЕ½=½Т^-1А_jТ – lТ^-1Е Т½=½Т^-1(А_j - lЕ)Т½=

=½Т^-1½½А_j -lЕ½½Т½=½А_j-lЕ½.

Утверждение леммы дает нам основание ввести следующее

Определение 3. Характеристическим многочленом линейного оператора j называется характеристический многочлен

f_j (l) =½A_j - lE½ его матрицы А_j в некотором базисе.

Теорема 3. Пусть в n -мерном векторном пространстве V над полем Р задан линейный оператор j: V®V. Чтобы число l₀Î Р являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы это число являлось корнем его характеристического многочлена.

Доказательство. Необходимость. Пусть вектор х – собственный и относится к числу l₀, то есть

j х = l₀ х (7)

Перепишем равенство (7) в координатах, придав этой записи матричный вид,

А_j[ x ] = l₀E[ x ]. (8)

Из (8) следует

(А_j - l₀Е)[ x ] = 0, (9)

или, в подробной записи

(a ₁₁ - l₀) x ₁ +…+ a_{n 1} x_n = 0,

………………………….. (10)

a _{1 n} x ₁ +…+ (a_nn -l₀) x_n = 0.

Так как система (10) заведомо имеет ненулевое решение, являющееся координатами собственного вектора, то определитель ½А_j - l₀Е½ этой системы равен нулю. Но это и значит, что l₀ есть корень характеристического многочлена линейного оператора j.

В достаточности утверждения легко убедиться, просматривая предыдущие рассуждения в обратном порядке.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R³, заданного в некотором базисе матрицей

Решение. Находим характеристический многочлен:

Собственными значениями будут корни этого многочлена. Следовательно, наш оператор имеет одно собственное значение λ = 2 (кратности 3).

Для нахождения соответствующих собственных векторов подставим λ = 2 в уравнение А[ x ] = λ[ x ].

Получим систему уравнений:

-2x₁ + x₂ = 0,

-4x₁ + 2x₂ = 0,

-2x₁ + x₂ = 0.

Общее решение системы: (α, 2α, β). Фундаментальная система решений: x = (1, 2, 0), y = (0, 0, 1).

Найденные векторы x, y являются базисом собственного подпространства данного линейного оператора, относящимся к числу λ.

Пример 2. Линейный оператор φ пространства R³ задан в некотором базисе матрицей

Можно ли найти такой базис, в котором матрица этого линейного оператора имеет диагональный вид? Если да, то найти этот базис и соответствующую матрицу.

Решение. Находим характеристический многочлен:

Для λ₁ = 1 собственный вектор е₁ = (1, 1, 1). Для λ₂ = 2 находим два линейно независимых собственных вектора:

е₂ = (1, 1, 0), е₃ = (1, 0, -3).

Векторы е₁, е₂, е₃ линейно независимы. Так как φ е₁ = е₁, φ е₂ = 2 е₂, φ е₃ = 2 е₃, то в базисе е₁, е₂, е₃ матрица линейного оператора будет:

§ 7. Инвариантные подпространства

Пусть дано векторное пространство V над полем Р и j: V®V - линейный оператор.

Определение. Подпространство WÌV называется инвариантным относительно линейного оператора j, если " х Î W выполняется условие j х Î W.

Приведем примеры инвариантных подпространств. Очевидно, тривиальные подпространства W= { 0} и W=V инвариантны относительно любого линейного оператора. Нетривиальными примерами инвариантных относительно линейного оператора j являются подпространства Imj, Kerj, а также подпространство V_l, относящееся к собственному значению l линейного оператора j. Проверка инвариантности этих подпространств предоставляется читателю.

Теорема 1. Сумма и пересечение двух инвариантных подпространств есть инвариантное подпространство.

В самом деле, пусть W ₁ и W ₂ - инвариантные относительно j подпространства. Тогда " х ₁Î W ₁ и " x ₂Î W ₂, по определению имеем j х ₁Î W ₁ и j х ₂Î W ₂. Если мы возьмем любой вектор х из суммы этих подпространств, то х = х ₁+ х ₂ и j х = j х ₁+j х ₂ Î W ₁ +W ₂, что и требовалось доказать. Если же вектор х принадлежит пересечению этих подпространств, то он принадлежит каждому подпространству, а, значит, его образ j х принадлежит каждому из этих подпространств и потому принадлежит пересечению.

Замечание. Мы привели доказательство для случая суммы и пересечения двух подпространств, но легко видеть, что теорема справедлива для любой конечной суммы векторных подпространств и любого пересечения.

Пусть нам дано вещественное векторное пространство V, то есть векторное пространство над полем действительных чисел.

Теорема 2. В вещественном векторном пространстве размерности n ≥ 3 для любого линейного оператора существует хотя бы одно одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство. Если характеристический многочлен линейного оператора имеет вещественный корень, то для него, как следует из доказательства теоремы 3 предыдущего параграфа, найдется, по крайней мере один, собственный вектор, а тогда натянутое на этот вектор подпространство инвариантно, и имеет размерность 1.

Пусть характеристический многочлен не имеет вещественных корней. По основной теореме алгебры комплексных чисел этот многочлен имеет хотя бы один комплексный корень g = a + bi. Подставим значение этого корня в систему (9) § 6 данной главы

{A_φ - (a +bi)Е}[ x] = 0, (1)

и пусть

[ c] = [u] + i [v],(2)

где [ c], [ u ], [ v] - матрицы-столбцы из n чисел, является решением этой системы. Из тождества

{А_φ- (a+bi)E}([ u] + i [v]) = 0, (3) приравнивая нулю действительные и мнимые части, получим: A_φ[ u] = a [ u] - b [ v ], A_φ[ v] = b [ u] + a [ v ] (4)

Обозначим u, v – векторы, имеющие своими координатами наборы чисел [ u ] и [ v] соответственно. Тогда равенства (4) являются координатной записью равенств

φ u = a u - b v, φ v = b u -a v. (5)

Векторы u и v линейно независимы, так как в противном случае мы имели бы, что v = m u, и из первого равенства в (5) получили бы φ u = (a - bm) u. Но это равенство говорит о том, что оператор обладает собственным вектором с действительным собственным значением, что противоречит нашему предположению.

Пространство, натянутое на векторы u и v,двумерно и инвариантно относительно оператора φ, так как образ любой линейной комбинации этих векторов снова выражается через эти же векторы в силу (5). Теорема доказана.

Если известно хотя бы одно инвариантное относительно j подпространство W, то можно подобрать такой базис, что матрица линейного оператора j примет более простой вид по сравнению с общим случаем, что имеет немаловажное значение при конкретных расчетах. В самом деле, если dimW = m, то выберем базис всего пространства так: сначала выберем базис е ₁,…, e _m подпространства W, а потомдополним его векторами e _{m +1},…, e _n до базиса всего пространства V. Тогда j e ₁= a₁₁ e ₁+…+a_{1 m} e _m,…,j e _m = a _{m 1} e ₁+…+a _mm e _m и матрица линейного оператора в этом базисе будет, очевидно, иметь вид

А_j = ,

где А – блок порядка m´ m, столбцы которого составлены из координат векторов j е ₁,…,j е _m в базисе подпространства W, О – блок порядка m´(n-m), состоящий из нулей, В и С - некоторые блоки порядков (n-m)´m и (n-m)´(n-m) соответственно.

Пример. Линейный оператор j пространства R³ задан в некотором базисе матрицей

Проверить, что подпространство W = <(1, 0, 1), (0, 1, 0)> инвариантно.

Решение.

Каждый вектор x из подпространства W имеет вид (α, β, α). Найдем j(x):

Получили, что Следовательно, W - инвариантное подпространство.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть в множестве всех векторов на плоскости, отложенных из одно точки, выбран базис е ₁, е ₂. Линейный оператор j - проектирование векторов на е ₁ параллельно е ₂. Найти матрицу этого линейного оператора в выбранном базисе.

2. Пусть на множестве всех векторов, лежащих в плоскости, линейный оператор j задан формулой j х = (а, х) а. Найти его матрицу в декартовом базисе е ₁, е ₂, если вектор а имеет в этом базисе координаты (0,1).

3. В некотором базисе матрица линейного оператора имеет вид . Найти образ вектора х = (х ₁, х₂).

4. Пусть пространство V ₂ – множество геометрических векторов, лежащих в плоскости, е ₁ и е ₂ – правый декартов базис, а линейный оператор j осуществляет поворот векторов на 90 ⁰ против часовой стрелки. Найти матрицу линейного оператора в данном базисе.

5. Линейный оператор j задан в обычном трехмерном пространстве формулой

j х = (a, x)b

Найти ядро этого линейного оператора.

6. Пусть е ₁, е ₂, е ₃ – базис обычного трехмерного пространства, выходящий из одной точки. Линейный оператор j - проектирование векторов на е ₁ параллельно < e ₂, e ₃>. Найти образ этого линейного оператора.

7. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе переставить местами два базисных вектора е ₁ и е ₂?

8. Матрица линейного оператора имеет в некотором базисе вид

Чему равен дефект этого линейного оператора?

9. Линейный оператор j задан формулой j х = 5 х. Имеет ли этот оператор собственные векторы и если да, то какие?

10. Дано пространство векторов на плоскости, выходящих из одной точки. Линейный оператор j - поворот на 45⁰ по часовой стрелке. Имеет ли этот оператор собственные векторы, и, если да, то какие?

11. Будет ли инвариантным подпространство, натянутое на собственные векторы?

12. Пусть Р – трехмерное пространство геометрических векторов. Является ли линейным оператором этого пространства функция φ, заданная формулой φ х = [ a,x]b, где а, b - постоянные векторы?

13. Составить матрицу линейного оператора φ, переводящего векторы а ₁ = (0,0,1), а ₂ = (0,1,1), а ₃ = (1,1,1) соответственно в векторы b ₁ = (2,3,5), b ₂ = (1,0,0), b ₃ = (0,1,-1) в базисе а ₁, а ₂, а ₃.

14. Какую размерность имеет векторное пространство L(V) всех линейных операторов n -мерного векторного пространства V?

15. Характеристический многочлен линейного оператора имеет ровно n попарно различных корней. Доказать, что относительно этого оператора имеется 2 ⁿ инвариантных подпространств, включая нулевое подпространство и все пространство.

16. Существуют ли такие линейные операторы, у которых нет ядра (то есть ядро – пустое множество)?

Поиск по сайту: