Сопряженные операторы

Пусть в евклидовом пространстве Е задан линейный оператор j.

Определение. Отображение j^*: Е®Е называется сопряженным линейному оператору j: Е®Е, если для любых векторов х и у из Е

(j х, у) = (х,j^* у). (1)

Формула (1) ничего не говорит ни о существовании, ни о свойствах такого отображения. Прежде чем решать эти вопросы, докажем одно вспомогательное предложение.

Лемма. Если для векторов а и b при любых векторах х Î Е выполняется равенство

(a, x) = (b, x), (2)

то а = b.

Доказательство. Из (2) следует, что равенство (a-b, x) = 0 справедливо при любых х, в том числе и при х = a - b. Но тогда (a-b, a-b) = 0, откуда сразу следует, что a-b = 0, то есть a = b.

Теорема 1. Если j - линейный оператор, а j^* - сопряженное отображение, то отображение j^* определяется единственным образом и является линейным оператором.

Докажем единственность отображения j^*. Пусть наряду с j^* существует отображение y, сопряженное линейному оператору j. Это значит, что выполняется равенство

(j х, у) = (х,y у). (3)

Так как левые части равенств (1) и (3) равны, то равны и правые, а тогда по лемме j^* у = y у. В силу произвольности вектора у получаем, что j^* = y.

Чтобы доказать линейность отображения j^*, рассмотрим следующие равенства:

(х, j^*(a ₁ у ₁ + a ₂ у ₂)) = (j х, a ₁ у ₁ + a ₂ у ₂) = a ₁(j х, у ₁) + a ₂(j х, у ₂) = = a ₁(х,j^* у ₁) +a ₂(х,j^* у) = (х, a ₁j^* у ₁ + a ₂j^* у ₂).

Сравнивая левую часть этих равенств и правую, по лемме заключаем, что j^*(a ₁ у ₁ + a ₂ у ₂) = a ₁j^* у ₁ + a ₂j^* у ₂ и линейность доказана.

Теорема 2. В любом ортонормированном базисе матрица А_j* линейного оператора j^* совпадает с транспонированной матрицей А_j оператора j, то есть А_j* = А_j^t.

Действительно, пусть е ₁,… е _п - любой ортонормированный базис, и пусть матрицами линейных операторов j и j^* в этом базисе будут соответственно матрицы А_j = и А_j* = . Тогда

j е _i = a_{i 1} e ₁ + …+ a_in e _n, i = 1,2,…, n, (4)

j^* e _j = e ₁ +…+ e _n, j = 1,2,… n. (5)

Умножим скалярно обе части равенства (4) на вектор е _j, а обе части равенства (5) - на e _i. Тогда получим

(j e _i, e _j) = a_ij, (e _i,j^* e _j) = . (6)

Из (1) и (6) следует, что , то есть

А_j* = A_j^t. (7)

Теорема 3. Если матрица линейного оператора j^* хотя бы в одном ортонормированном базисе совпадает с транспонированной матрицей линейного оператора j, то оператор j^* сопряжен с j.

Доказательство. Пусть в данном базисе е ₁,…, е _п имеют место равенства(4) и (5), где a_ij= , причем в силу ортонормированности базиса выполняются равенства (6). Тогда для любых векторов

х = е _i, y = e _j будем иметь

(j х, у) = (j e _i, e _j) = ,

(x,j^* y) = (e _i,j^* e _j) = = .

Отсюда следует, что (j х, у) = (х,j^* у) и теорема доказана.

Теорема 4. Операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следующими свойствами: 1) (j^*)^* = j; 2) (a j)^* = a j^* 3) (j + y)^* = j^* + y^*; 4) (jy)^* = y^*j^*.

Все эти свойства доказываются одним и тем же способом, поэтому мы ограничимся доказательством одного из них. Докажем, например, свойство 4). Имеем (jy х, у) = (y х,j^* у) = (х,y^*j^* у). С другой стороны, (jy х, у) = (х, (jy)^* у). Отсюда следует, что (х,(jy)^* у) = = (х,y^*j^* у), а тогда из леммы следует справедливость свойства 4).

Обратим внимание, что свойства сопряженности операторов аналогичны свойствам транспонирования матриц, что не удивительно, так как алгебра линейных операторов изоморфна алгебре матриц и в ортогональном базисе имеет место равенство (7).

Поиск по сайту: