Линейные формы. Двойственное пространство

Пусть V – векторное пространство над полем Р.

Определение 1. Линейной формой называется отображение f:V®P, такое, что для любых векторов х, у из V и любого числа a из Р выполняются условия линейности, то есть

f (x+y) = f (x)+ f (y), (1)

f (a x) = a f (x). (2)

Иными словами, линейная форма - это скалярная линейная функция векторного аргумента.

Покажем, как вычислить значение линейной формы от векторного аргумента х, если вектор задан своими координатами относительно данного базиса е ₁,…, е _n.

Предварительно докажем, что справедлива

Теорема 1. Существует единственная линейная функция, значения которой на векторах данного базиса равны данным числам.

Доказательство. Пусть дан базис е ₁,…, е _n и ряд чисел a ₁,…, a_n из Р. Построим отображение f:V®P следующим образом: каждому вектору x = x ₁ e ₁+…+ x_n e _n поставим в соответствие число

f (x) = a ₁ x ₁+…+ a_nx_n. (3)

Очевидно, построенное отображение является линейной формой, так как удовлетворяет условиям линейности, причем

f (e _i) = a_i, i= 1,2,…, n. (4)

Для доказательства единственности предположим, что наряду с построенной линейной формой f найдется другая линейная форма g, такая что g (e _i) = a_i, i= 1,2,…, n. Но тогда по свойствам линейности получим:

g(x) = g (x ₁ e ₁+…+ x_n e _n) = x ₁ g (e ₁) +…+ x_ng (e _n) = a ₁ x ₁+…+ a_nx_n. (5)

Из (3) и (5) заключаем, что для всех х Î V f (x) = g (x), то есть f = g.

Обозначим V^* множество всех линейных форм, заданных на векторном пространстве V. Введем для линейных форм операции сложения и умножения на числа по формулам

(f+g)(x) = f (x) + g (x), (6)

(a f)(x) = a f (x). (7)

Заметим, что и сумма линейных форм, и произведение числа на линейную форму есть снова линейные формы (докажите!), а это значит, что сложение является алгебраической операцией в V^*, а произведение числа на линейную форму – операцией умножения на скаляры в V ^*. Кроме того, в V ^* существует линейная форма О, определяемая формулой О (х) = 0 для всех х и играющая роль нуля, а также для каждой формы f найдется линейная форма - f, определяемая формулой (- f)(x) = - f (x). Учитывая эти свойства, легко убедиться, что множество V^* относительно операций сложения и умножения на числа образует векторное пространство.

Определение 2. Векторное пространство V ^* называется двойственным (дуальным, сопряженным) к векторному пространству V.

Теорема 2. Размерность двойственного векторного пространства равна размерности исходного пространства.

Доказательство. Пусть dimV= n и e ₁,…, e _n - базис векторного пространства. С помощью этого базиса построим, воспользовавшись теоремой 1, n линейных форм e_i по формулам:

e_i (e _j) = d _ij, j = 1,2,…, n, (8)

где d _ij – символ Кронекера, принимающий значение 1 при i = j и 0 при i ¹ j. Иначе каждую форму e_i можно описать так: если

x = x ₁ e ₁+…+ x_n e _n, то

e_i (x) = x_i. (9)

Оказывается, именно эти формы можно взять за базис пространства V^*. Для этого достаточно показать, что они линейно независимы, и каждая линейная форма выражается через эти формы. Для проверки их независимости составим равенство

l ₁ e ₁ +…+ l_ne_n = 0. (10)

Вычислим значение правой и левой частей равенства (10) на каждом базисном векторе е _i, где i = 1,2,…, n, тогда получим равенство

(l ₁ e ₁ +…+ l_ne_n)(e _i) = 0 (e _i), (11)

из которого следует, что l_i = 0 при i = 1,2,…, n. Так как оказалось, что линейная комбинация в правой части (10) может быть только тривиальной, то линейные формы e_i – линейно независимы.

Пусть f – любая линейная форма. Тогда, с учетом (3) и (9), имеем

f (x) = a ₁ e ₁(x) +…+ a_ne_n (x) = (a ₁ e ₁ +…+ a_ne_n)(x),

откуда следует, что

f = a ₁ e ₁ +…+ a_ne_n. (12)

Мы показали, что n линейных форм e_i являются базисом. Это значит, что dimV^*= dimV, и теорема доказана.

Отметим, что построенный по формулам (8) базис e_i называется двойственным (дуальным, сопряженным)к базису е _j.

Поиск по сайту: