Б2 3.Билинейные и квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду. акон инерции

Билинейной ф-ей или бил-ой формой на лин пространстве наз ф-ия от 2-х векторов из , линейная по каждому из своих аргументов, т.е.удовлетворяющая рав-ам:

,

,

Квадратичной формой или квадратичной ф-ей на лин пр-ве наз функция , значение которой на любом векторе определяется рав-ом , где - симметричная билинейная форма.

Паре векторов на пл-ти сопоставим скаляр пр-ние. В силу известных св-в скаляр-го произв это – билинейная форма. Пусть - базис в . Если и - координаты векторов и , то значение БФ на этой паре векторов может быть вычислено так

или .

Здесь чисел называется ее коэффициентами в базисе. Их запис в в квадр матрицы порядка

, .

Эта матрица наз матрицей билинейной формы в данном базисе. Матрицей квадратич формы наз матрица соответ БФ.

Квадр форма , , , не имеющую попарных произведений переменных наз квадратич формой канонич вида. Переменные , в которых квадр форма имеет канонич вид, наз канонич переменными.

Один из методов преобразования квадр формы к канонич виду путем замены переменных состоит в последоват-м выделении полных квадратов. Такой м-д наз м-дом Лагранжа.

Квадр форму можно привести к канонич виду ортогонал преобразованием. При этом коэф-ты квадр формы канонич вида будут соотв знач матрицы исход квадр формы.

Закон инерции.

Теорема. Число отрицат и число положит коэф-ов в канонич виде квадр формы не завис от базиса, в котор она приведена к канонич виду.

Доказательство:

Докажем, что если в каком-либо базисе форма приведена к канонич виду, то число коэф-ов =-1 равно отрацат индексу формы . Пусть в базисе форма ранга с индексом имеет канонич вид:

.

Обозн через линейную оболочку векторов , а через лин оболочку остальных базисных векторов. Для любого имеем:

, и , если только . Значит, отрицательно определена на и .

На форма положит-но полуопределенная, потому что для любого и . (форма может быть =0 на ненулевом векторе, если ).

. Пусть сущ-т подпр-во размерности , на которм отриц определена. Тогда, т.к.сумма размерностей и больше , эти подпр-ва имеют ненулевой вектор в пересечении. Имеем т.к. и , т.к. . Получ противоречие, показывает, что . Число коэф-ов, равных -1, равно отрицат индексу и поэтому не зависит от базиса. Число коэф-ов, = +1, также не зависит от базиса, т.к.оно равно а ранг и индекс от базиса не зависят. Ч.т.д.

Следствие: число положит и число отрицат коэф-ов в любом диагонал виде квадр формы не зависят от базиса.

Поиск по сайту: