Пересечение и сумма подпространств. Прямая сумма

Пусть дано векторное пространство V, в котором заданы два подпространства U и W.

Определение 1. Пересечением подпространств U и W называется множество U Ç W векторов, принадлежащих как подпространству U, так и подпространству W, то есть

U Ç W = { x ÷ x Î U и x Î W }.

Определение 2. Суммой подпространств U и W называется множество U + W всех таких векторов, которые представимы в виде двух слагаемых, из которых первое слагаемое принадлежит U, а второе - W, то есть

U+W= { x + y ï x Î U, yÎ W }.

Используя теорему 1 § 6, легко проверить, что и сумма, и пересечение подпространств являются подпространствами.

Очевидно, если U= < a ₁,…, a _p >, W = < b ₁,…, b _q >, то

U + W = < a₁,…,a _p, b ₁,…, b _q >.

Определение 3. Сумма U+W подпространств U и W называется прямой, если U Ç W= { 0}.

Прямую сумму подпространств U и V обычно обозначают U Å W.

Теорема 1. Сумма двух подпространств U и W является прямой тогда и только тогда, когда любой вектор z этой суммы единственным образом представим в виде z = x + y, где x Î U, y Î W.

Докажем необходимость. Предположим, что сумма подпространств U и W прямая, и найдется хотя бы один такой вектор z, который представляется двумя способами в виде z = x + y и z = x ¢+ y ¢, где x, x ¢- векторы из U, а y и y ¢ - векторы из W. Но тогда x+y = = x ¢ +y ¢, откудаследует, что x-x ¢ = y ¢- y, причем вектор в левой части этого равенства лежит в U, а вектор в правой части – в W, но поскольку они равны, то лежат в пересечении подпространств. Из определения прямой суммы следует, что и левая, и правая части этого равенства являются нулем, а следовательно, x = x ¢, y = y ¢.

Достаточность. Пусть представление вектора в виде указанной в теореме суммы единственно. Возьмем любой вектор х Î U Ç W. Тогда х Î U и х Î W, и, заметив, что 0 принадлежит любому подпространству, мы можем записать равенство 0 = 0 + 0 = х + (- х), откуда, в силу единственности, следует, что х = 0.

Теорема 2. Размерность суммы двух векторных подпространств равна сумме размерностей этих подпространств без размерности их пересечения, то есть

dim (U+W) = dimU + dimW - dimU Ç W.

Доказательство. Выберем базис e ₁,…, e _m подпространства U Ç W и дополним его сначала до базиса e ₁,…, e _m, e _{m +1},…, e _k подпространства U, а затем - до базиса e ₁,…, e _m, e ¢ _{m +1},…, e ¢_s подпространства W. Очевидно, что любой вектор из U+W выражается через k + s – m векторов:

e ₁,…, e _m, e _{m +1},…, e _k, e ¢ _{m +1},…, e ¢_s. (1)

Если мы докажем, что система (1) линейно независима, то она будет являться базисом суммы подпространств и, следовательно, утверждение теоремы будет доказано. Для этого составим равенство

a₁ e ₁+…+a _m e _m +b _{m +1} e _{m + 1}+…+b _k e _k +g _{m +1} e ¢ _{m +1}+…+g_s e ¢_s= 0 (2)

и проверим, что линейная комбинация в левой части этого равенства - тривиальная.

Перепишем равенство (2) в виде

-g _{m +1} e ¢ _{m +1}-…-g_se¢_s= a₁ e ₁+…+ a _m e _m + b _{m +1} e _{m +1}+…+ b _k e _k. (3)

Из (3) следует, что правая часть этого равенства принадлежит U, так как она выражается через базис подпространства U; вектор в левой части, являясь комбинацией базисных векторов из W, принадлежит W. Но это означает, что и левая, и правая часть равенства (3) является вектором из пересечения U Ç W этих подпространств. Поскольку каждый вектор разлагается по базису, разложим левую часть равенства (3) по базису U Ç W:

-g_m+1 e ¢_m+1-…-g_s e _s= d₁ e ₁+…+ d _m e _m. (4)

Из (4) следует, что

d₁ e ₁+…+ d _m e _m + g _{m +1} e ¢ _{m +1}+…+ g_s e ¢_s= 0. (5)

Из (5) мы видим, что линейная комбинация векторов базиса W равна нулю. Следовательно, она тривиальна, в частности, g _{m +1}=…=g_s=0. Внесем значения этих коэффициентов в равенство (2), тогда получим, что линейная комбинация базисных векторов подпространства U равна нулю и, следовательно, эта комбинация также тривиальна, то есть a₁=…= a _m = b _{m + 1}= … = b_s= 0. Окончательно имеем, что все коэффициенты в равенстве (2) равны нулю и, следовательно, система (1) линейно независима.

Следствие. dimU Å W = dimU+dimW.

Замечание. Понятие пересечения и суммы подпространств переносятся на любое число подпространств. Так, если даны подпространства U ₁,…, U_q, то пересечением их называется множество тех векторов, которые одновременно принадлежат всем рассматриваемым подпространствам, а суммой U ₁+…+ U_q называется множество всевозможных векторов, представимых в виде x ₁+…+ x _q, где x ₁Î U ₁,…, x _q Î U_q. Если представление вектора суммы в виде x ₁+…+ x _q единственно, то сумму называют прямой и обозначают U ₁Å…Å U_q.

Пример. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

А = á а₁, а₂ ñ, В = á b₁, b₂ ñ

a₁ = (1, 2, 1, 0), b₁ = (2, -1, 0, 1),

a₂ = (-1, 1, 1, 1); b₂ = (1, -1, 3, 7).

Решение.

Подпространство A + B состоит из векторов вида a + b, где a ÎA, b ÎB, следовательно, A + B = á а₁, а₂,b₁, b₂ ñ. Составим матрицу из координат указанных векторов и найдем её ранг:

Получаем, ранг равен 3, а потому dim(A+B) = 3. В качестве базиса можно взять систему векторов a₁, a₂, b₁.

Подпространство состоит из всех таких векторов x, что

х = α₁ a₁ + α₂ a₂ = β₁ b₁ + β₂ b₂.

Решив уравнение α₁ a₁ + α₂ a₂ - β₁ b₁ - β₂ b₂ = 0

относительно неизвестных α₁, α₂, β₁, β₂, получим:

α₁ = c, α₂ = -4c, β₁ = 3c, β₂ = -c, где с – произвольное вещественное число.

Итак, {c a₁ – 4c a₂ }={c(5,-2,-3,-4)}. Подпространство порождено одним вектором (5, -2, -3, -4). Значит, и в качестве базиса пересечения подпространств можно взять полученный вектор.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Какая размерность у линейной оболочки, натянутой на векторы (1,0,0,0), (0,1,0,0), (1,1,0,0), (2,2,0,0)?

2. Сколько различных базисов можно выбрать из системы векторов a, b, c двумерного векторного пространства,если векторы попарно линейно независимы?

3. Определяет ли система уравнений x₁+x₂+x₃+x₄=0, х₂ + х₄ -3=0.

x₁-2x₃+4x₄ +1=0 векторное подпространство в R⁴ и если да, то какой размерности?

4. Какие векторы из данной системы (1,0,0), (1,2,2), (0,0,1) принадлежат линейной оболочке < (1,1,1), (0,1,1)>?

5. Сколько независимых однородных уравнений входит в систему, определяющую двумерное подпространство пятимерного пространства?

6. Какова размерность векторного пространства всех однородных многочленов от двух переменных степени не выше четырех?

7. Из трех векторов а = (1,1), b = (0,1), c = (1,-1) выбран базис. Указать выбранный базис, если известно, что вектор х = (3,1) имеет в этом базисе координаты 1 и 2.

8. Найти матрицу перехода от базиса е ₁ = (1,0), е ₂ = (0,1) к базису е ₁¢ = (1,2), е ₂¢ = (3,4).

9. Пусть R₁[ x ] – пространство многочленов от одного неизвестного х степени не больше единицы, R² – арифметическое двумерное пространство. Изоморфизм j из R² в R₁[ x ] переводит базис е ₁ = (1,1) и е ₂ = (0,1) соответственно в базис х и 1. Найти образ вектора а = (2,4) при этом изоморфизме.

10. Даны два линейно независимых вектора a, b. Какова размерностьпересечения подпространств L₁ = < a, a-b> иL₂ = < b, a+b >?

11. Можно ли векторное пространство размерности не меньше 2 представить в виде прямой суммы двух подпространств?

12. Относительно системы векторов е ₁,…, е _n известно следующее: каждый вектор линейно выражается через эту систему, и существует некоторый фиксированный вектор, который единственным образом выражается через эту систему. Будет ли такая система образовывать векторный базис?

13. Образуют ли векторное пространство геометрические векторы на плоскости, не параллельные данной прямой?

14. Доказать, что для любого истинного подпространства U векторного пространства V найдется такое подпространство W, что V=UÅW.

15. Доказать, что пересечение всех подпространств векторного пространства, содержащих два данных подпространства, равно сумме этих двух подпространств.

Поиск по сайту: