Положительно определенные квадратичные формы

Пусть в векторном пространстве V над полем R действительных чисел задана квадратичная форма К ранга r, которая в некотором базисе е ₁,…, e _n записывается в виде

K (x) = (1)

Определение 1. Квадратичная форма K называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора х K (x)>0.

Заметим, что если положительно определенную квадратичную форму записать в нормальном виде в некотором каноническом базисе f ₁,…, f _n, то, очевидно, она будет иметь вид

K (x) = , (2)

то есть r = i⁺ = n. В самом деле, если бы это было не так, то последнего квадрата в (2) или не было бы, или он входил бы со зна- ком «минус», и тогда значение квадратичной формы на векторе f _n = (0,…,0 ,1) было бы равно или нулю, или отрицательному числу.

Отметим два свойства положительно определенной квадратичной формы.

1. Все коэффициенты a_ii, i =1,2,…, n при квадратах координат положительно определенной квадратичной формы (1) строго положительны.

Действительно, a_ii = K (e _i) > 0.

2. Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы строго положителен, то есть det .

В самом деле, определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы, заданной в нормальном виде, равен 1. Но знак определителя матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса, а потому для положительно определенной квадратичной формы он всегда положителен.

Определение 2. Пусть дана матрица

. (3)

Угловыми минорами матрицы В называются ее миноры, расположенные в левом верхнем углу, то есть миноры вида

, i = 1, 2,…, n. (4)

Теорема (Критерий Сильвестра). Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы строго положительны.

Доказательство. Необходимость. Пусть квадратичная форма (1) положительно определена. Положим L= < e ₁,…, e _k > и будем рассматривать квадратичную форму К не на всем пространстве, а на подпространстве L. Если x Î L, то х = (x ₁,…, x_k,0,…,0) и

K (x) = . (5)

Эта форма на подпространстве L будет положительно определенной, так как она положительно определена на всем пространстве. Поэтому определитель этой квадратичной формы, являясь в то же время угловым минором матрицы квадратичной формы (1), положителен. Поскольку k здесь принимает любое значение от 1 до n, то необходимость доказана.

Достаточность. Пусть все угловые миноры квадратичной формы (1) строго положительны. Доказывать будем индукцией по размерности пространства. При п= 1 теорема верна, так как в этом случае К (х) = , причем по условию a ₁₁>0. Полагая теорему справедливой для п -1, докажем ее справедливость для п.

Выделим в (1) те слагаемые, которые не содержат координаты х_п, и перепишем (1) в виде

K (x) = . (6)

Будем рассматривать первое слагаемое как квадратичную форму K ₁, заданную на L = < e ₁,…, e _{n -1}>, которая по индуктивному предположению положительно определена, так как все угловые миноры ее матрицы являются угловыми минорами матрицы квадратичной формы К и потому строго положительны. Перейдем в L к каноническому базису с формулами преобразования координат

. (7)

Тогда для х = (х ₁,…, х_{п -1},0)Î L получим, что К ₁(х) = . Добавим к равенствам (7) равенство х_п = у_п и будем считать получившиеся равенства преобразованием координат при переходе к новому базису в пространстве V. В этом новом базисе будем иметь

K (x) = . (8)

Перепишем равенство (8) в виде

К (х) = =

= (9)

где

Сделаем еще одну замену базиса в пространстве V с формулами перехода

z ₁ = y ₁+ b _{1 n}y_n, …, z_{n -1} = y_{n- 1}+ b_{n -1 n}y_n, z_n = y_n, (10)

в котором квадратичная форма запишется, как это видно из (9), следующим образом

K (x) = . (11)

В выбранном базисе определитель матрицы формы К, как это видно из (11), равен b, но так как определитель матрицы квадратичной формы в любом базисе имеет один и тот же знак, то b >0, и теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Дана линейная функция f (x) = x ₁- 5 x ₃, где x ₁, x ₂, x ₃ – координаты вектора х вбазисе е ₁, е ₂, е _3. Чему равно значение f (е ₁+3 е ₂- е ₃)?

2. Матрица билинейной формы в некотором базисе имеет вид . Какой вид имеет в этом базисе сама билинейная форма f (x, y)?

3. Какой ранг имеет билинейная форма f (х,у), если она принимает следующие значения на парах базисных векторов f (e ₁, e ₁) = 0, f (e ₁, e ₂) = 1, f (e ₂, e ₁) = 0, f (e ₂, e ₂) = 2?

4. Матрица перехода от одного базиса к другому имеет вид . При каких значениях l матрица билинейной формы меняется при переходе к новому базису как матрица линейного оператора?

5. Квадратичная форма в некотором базисе имеет вид К(х) = 2 х ₁ х ₂. Какой вид имеет в этом базисе порождающая ее билинейная форма?

6. Каков положительный индекс инерции квадратичной формы, имеющий в некотором базисе вид х ₁² +2 х ₁ х ₂ + х ₂²?

7. Линейные формы f₁ (x) = 2 x₁ +5 x₂ и f₂ (x) = x₁ + x₂ являются базисом двумерного пространства линейных форм. Найти двойственный ему базис.

8. Дана квадратичная форма К (х) = . Составить билинейную форму, порождающую данную квадратичную форму.

9. Используя алгоритм Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду, привести к каноническому виду билинейную форму

B (x, y) =

10. Привести квадратичную форму К(x) = к каноническому виду.

11. Квадратичные формы будем называть эквивалентными, если они имеют одинаковый нормальный вид. Какие из следующих квадратичных форм эквивалентны над полем комплексных чисел:

f₁ = x₁² – x₂², f₂ = x₁² + 5x₃², f₃ = x₂² + 4x₁² – x₃²?

12. Какие из следующих квадратичных форм эквивалентны над полем вещественных чисел:

f₁ = x₁² – x₂², f₂ = x₁² + 5x₃², f₃ = x₂² + 4x₁² – x₃²?

13. У казать l, mÎR, для которых квадратичные формы

К₁ (х) =

К₂ (х) =

являются положительно определенными.

Поиск по сайту: