Ортогональные системы векторов. Метод ортогонализации

Определение 1. Векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если вектор х ортогонален вектору у, то пишут х ^ у.

Для ортогональных векторов х и у справедливо равенство («теорема Пифагора»):

| х + у |² = | х |² + | у |². (1)

В самом деле, учитывая, что (х, у) = 0, получим

| х + у |² = (х + у, х +у) = (х, х) + 2(х, у) + (у, у) = | х |² + | у |². Что и требовалось доказать.

Определение 2. Система векторов х ₁,…, х _s называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, то есть (х _i, x _j) = 0 при i ¹ j, i, j = 1,…, s.

Отметим, что для ортогональной системы векторов x ₁,… x _s справедлива «обобщенная теорема Пифагора», то есть выполняется равенство

| x ₁+ x ₂+…+ x _s |² = | x ₁|² + | x ₂|² +…+ | x _s |². (2)

Доказательство этого равенства проводится обычным вычислением по аналогии с доказательством равенства (1).

Теорема 1. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство. Для ортогональной системы векторов x ₁,…, x _s составим равную нулю линейную комбинацию

a₁ x ₁+a₂ x ₂+…+a _s x _s = 0 (3)

и покажем, что линейная комбинация здесь может быть только тривиальной. В самом деле, умножив скалярно обе части (3) на вектор х _i, где i = 1,2,…, s, получим

a₁(x ₁, x _i) + a₂(x ₂, x _i)+…+a _i (x _i, x _i) +…+ a _s (x _s, x _i) = (0, x _i), (4)

откуда следует, что a _i | x _i |² = 0, а так как | x _i | ¹ 0, то a _i = 0 для всех i = 1,2,…, s, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Пусть x ₁,…, x _s – базис линейной оболочки L = < x ₁,…, x _s >. Тогда в L существует ортогональная система векторов y ₁,…, y _s, являющаяся базисом L.

Доказательство. Будем строить ортогональную систему векторов y ₁,…, y _s следующим образом: положим у ₁ = х ₁. Будем искать у ₂ в виде

у ₂ = у ₁ + х ₂. (5)

Подберем число так, чтобы вектор у ₂ был ортогонален вектору у ₁. Для этого умножим обе части равенства (5) скалярно на у ₁. Так как мы считаем, что (у ₁, у ₂) = 0, то получим 0 = (у ₁, у ₁) + + (у ₁, х ₂). Поскольку (у ₁, у ₁) ¹ 0, число найдется из этого равенства единственным образом.

Вектор у ₃ будем искать в виде

у ₃ = у ₁+ у ₂ + х₃, (6)

подбирая числа так, чтобы вектор у ₃ был ортогонален и вектору у ₁, и вектору у ₂. Для этого умножим скалярно равенство (6) сначала на у ₁, а затем на у ₂ . Учитывая, что (у ₁, у ₃) = 0, (у ₂, у ₃) = 0, получим

0 = (у ₁, у ₁) + (х ₃, у ₁), 0 = (у ₂, у ₂) + (х ₃, у ₂). (7)

Из равенств (7) числа найдем единственным образом, так как (у ₁, у ₁) ¹ 0, (у ₂, у ₂) ¹ 0.

Полагая, что векторы у ₁,…, у _k построены, будем искать вектор у _{k+ 1} в виде

y _{k+ 1} = y ₁+ y ₂ +…+ y _k + x _{k+ 1}. (8)

Для нахождения числа умножим скалярно обе части равенства (8) на вектор у _i, где i = 1,…. k. Тогда из равенства 0 = (y _i, y _i) + + (y _i, x _{k+ 1}) найдем числа для i = 1,… k.

Продолжая процесс, построим ортогональный базис линейной оболочки L. Теорема доказана.

Описанный при доказательстве теоремы процесс построения ортогональной системы векторов называется методом ортогонализации Щмидта.

Следствие. В векторном пространстве существует ортогональный базис.

Определение 3. Вектор х называется нормированным или единичным, если его длина равна единице. Переход от вектора х к единичному вектору e = называется нормированием. Ортогональнаясистема нормированных векторов называется ортонормированной.

Заметим, что если ортогональная система векторов y ₁,…, y _n является базисом пространства V, то, нормируя векторы у ₁,…, у _п, получим ортонормированный базис е ₁, …, е _п пространства. Для ортонормированного базиса е ₁,…, е _п справедливо соотношение

(е _i, e _j) = d _ij, (9)

где d _ij - символ Кронекера, принимающий значение 1 при i = j и 0 при i ¹ j.

Теорема 3. Базис е ₁,…, е _п ортонормирован тогда и только тогда, когда для любых векторов х = e _i и y = e _j скалярное произведение вычисляется по формуле

(х, у) = . (10)

В самом деле, используя свойства скалярного произведения, имеем

(х, у) = ( е _i, e _j) = (e _i, e _j). (11)

Отсюда ясно, что необходимым и достаточным условием выполнения равенства (10) является условие (9), то есть чтобы базис был ортонормированным.

В заключение заметим, что в алгебре рассматриваются не только ортогональные векторы, но и ортогональные подпространства: подпространство L ₁ называется ортогональным подпространству L ₂, если " х Î L ₁ и " у Î L ₂ выполнено (x, y) = 0.

Введем еще одно определение.

Определение 4. Ортогональным дополнением для подпространства L называется множество L ^{^} всех векторов, ортогональных L, то есть

L ^{^} = { x ÎE| (x, y) = 0, " y Î L }.

Нетрудно убедиться, что L ^{^} является подпространством и что E = L Å L ^{^}.

Пример. Если L - подпространство, а x = y + z, где y Î L, а z Î L ^{^}, то y называется ортогональной проекцией, а z - ортогональной составляющейвектора x. Пусть x = (5, 2, -2, 2), L = á e ₁, e ₂ ñ, где e ₁ = (2, 1, 1, -1), e ₂= (1, 1, 3,0). Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора x на L.

Решение. Положим y = a e ₁ + b e ₂, тогда x = a e ₁+ + b e ₂ +z.

Найдем коэффициенты разложения. Для этого левую и правую части равенства умножим скалярно на е ₁, а затем на е ₂.

Получим систему линейных уравнений:

(х, е ₁ ) = a(e ₁, е ₁) + b(e ₂, е ₁) + (z, е ₁ ),

(х, е ₂ ) = a(e ₁, е ₂) + b(e ₂, е ₂) + (z, е ₂ ),

в которой последнее слагаемое в обоих уравнениях обращается в ноль, так как z ^ L.

Вычислим скалярные произведения: (х, е ₁ ) = 8, (х, е ₂ ) = 1, (e ₁, е ₁) = 7, (e ₁, е ₂) = 6, (e ₂, е ₂) = 11. Решая систему уравнений, получаем a = 2, b = -1.

Тогда y = 2 e ₁ - e ₂ = (3, 1, -1, -2)ÎL,

z = x – y = (2, 1, -1, 4) ^ L.

Поиск по сайту: