Ядро и образ линейного оператора

Пусть V – n -мерное векторное пространство над полем Р, j: V®V линейный оператор.

Определение 1. Множество Imj образов всех векторов из V при отображении j называется образом линейного оператора j, то есть

Imj ={j x ½ x Î V }.

Теорема 1. Образ линейного оператора является векторным подпространством, размерность которого равна рангу этого линейного оператора.

Доказательство. Покажем, что Imj - подпространство. Пусть х ¢, у ¢ - любые векторы из образа, то есть х ¢= j х, у ¢= j у, где х, у – некоторые векторы из V, а a - любое число.

Тогда х ¢+ у ¢ = j х + j у = j(х + у) Î Imj, a x¢ = aj x = j(a x) Î Imj. По теореме 1 §6 главы 1 заключаем, что образ оператора – подпространство. Выясним его размерность.

Пусть е ₁,…, e _n – некоторый базис в V, а х произвольный вектор пространства V. Тогда этот вектор разложится по базису в виде х = x ₁ e ₁+…+ x_n e _n, а образ этого вектора имеет вид

j х = x ₁j e ₁ +…+ x_n j e _n. (1)

Равенство (1) говорит нам о том, что система образов базиса является системой образующих для Imj, то есть Imj = <j e ₁,…,j e _n >, а максимальное число независимых векторов в этой системе будет размерностью образа линейного оператора. Если вспомнить правило составления матрицы линейного оператора в базисе, то очевидно, что независимых векторов в системе будет столько, сколько независимых столбцов в матрице линейного оператора. Следовательно, rang j = dim Imj, и теорема доказана.

Определение 2. Ядром линейного оператора j называется множество Kerj таких векторов, образы которых равны нулю, то есть

Kerj = { x ½j x = 0 }.

Теорема 2. Ядро Kerj линейного оператора j есть подпространство векторного пространства, причем его размерность

dim Kerj = n - rang j.

Доказательство. Пусть х и у – произвольные векторы из ядра линейного оператора, то есть j х = 0 и j у = 0, а a - любое число. Поскольку j(х + у) = j х + j у = 0 и j(a х) = aj х = 0, то х + у Î Kerj и a х ÎKerj. Это значит, что Kerj - подпространство. Чтобы выяснить его размерность, поступим следующим образом: выберем базис e ₁,…, e _n пространства V следующим образом. Первые k векторов е ₁,…, e _k выберем в ядре оператора j, а затем дополним эту систему до базиса всего пространства. Так как j e ₁ = …= j e _k = 0, то в этом случае Imj = <j e _{k+ 1},…,j e _n>. Оказывается, все векторы j e _{k+ 1},…,j e _n линейно независимы. Действительно, предположив противное, составим нулевую нетривиальную комбинацию этих векторов a _{k+ 1}j e _{k+ 1} + … +a _n j e _n= 0. Тогда можно построить ненулевой вектор a = a _{k+ 1} e _{k+ 1} +… +a _n e _n, заведомо не принадлежащий ядру (иначе он выразился бы через базис ядра).

Но равенство j а = a _{k+ 1}j e _{k+ 1}+…+a _n j e _n = 0 показывает, что вектор а принадлежит ядру, а это противоречит построению указанного вектора. Теперь очевидно, что dim Imj = rang j = n-k, а так как размерность ядра равна k, то получаем, что

dim Kerj = n-rang j.

Размерность ядра линейного оператора называют дефектом линейного оператора и обозначают def j.

Покажем, как описать ядро линейного оператора j, если дан произвольный базис е = (e ₁,…, e _n), а оператор задан в этом базисе своей матрицей А_j. Тогда координаты вектора у = j x вычисляются по формуле [ y ] = A_j[ x ] (см. глава 2, § 1, равенство (9)). Очевидно, вектор х тогда и только тогда принадлежит ядру, когда у = 0, то есть А_j[ x ] = 0 (здесь 0 –матрица-столбец из нулей). Это значит, что координаты векторов ядра найдутся как решения системы линейных уравнений

a ₁₁ x ₁ +…+ a_{n 1} x_n = 0,

……………………. (2)

a _{1 n} x ₁ +…+ a_nnx_n = 0.

Пример. Найти ядро и образ линейного оператора φ, заданного в некотором базисе пространства R⁴ матрицей

Решение. Находим ранг матрицы линейного оператора:

rank A = 2.

Значит, размерность образа линейного оператора Im φ равна 2, размерность ядра kerφ равна 4 – 2 = 2.

Базис образа можно, например, составить из векторов φ е₁, φ е₂, координаты которых записаны в первых двух столбцах матрицы А.

Im φ = < φ е₁, φ е₂ >.

Для отыскания ядра решаем однородную систему уравнений:

x₁ + 3x₂ + 5x₃ + x₄ = 0,

2x₁ + x₂ + 3x₃ + x₄ = 0.

Общее решение этой системы: (-4α -2β, -7α –β, 5α, 5β). Базис ядра составляют, например, векторы (-4, -7, 1, 0) и (-2, -1, 0, 1).

Поиск по сайту: