Преобразование координат при замене базиса

Прежде чем рассматривать преобразование координат при переходе к другому базису, рассмотрим вопрос о том, как различные базисы связаны друг с другом. Пусть в n-мерном векторном пространстве V над полем Р даны два базиса:

e ₁,…, e _n (1)

и

е ₁¢,…, e _n ¢.(2)

Каждый вектор базиса (2), как и всякий вектор пространства, единственным образом выражается через базис (1), то есть

e ₁¢ = t ₁₁ e ₁+…+ t _{1 n} e _n,

………………….. (3)

e _n ¢ = t_{n 1} e ₁+…+ t_nn e _{n .}

Определение 1. Матрица

T= , (4)

каждый i -ый (i= 1,2,…n) столбец которой составлен из координат вектора е _i ¢ в базисе (1), называется матрицей перехода от базиса (1) к базису (2).

В дальнейшем мы будем для некоторых равенств использовать матричную запись, которая особенно удобна для громоздких выражений. Так, матричная запись равенств (3) имеет вид

(e ₁¢,…, e _n ¢) = (e ₁,…, e _n) . (5)

Если ввести матрицы-строки e =(e ₁,…, e _n) и e ¢=(e ₁¢,…, e _n ¢), то (5) можно переписать так:

е¢ = е Т. (6)

Отметим два свойства матриц перехода.

1⁰. Матрица перехода от одного базиса к другому – невырожденная.

В самом деле, в силу равноправия двух базисов, наряду с матрицей Т в (6), имеем

е = е ¢Т¢. (7)

Из (6) и (7) получим, что е ¢ =е ¢Т¢Т, е = е ТТ¢, откуда, в силу независимости базисных векторов, получим, что ТТ¢ = Т¢Т = Е, где Е – единичная матрица. Но это значит, что Т¢ = Т^-1, то есть Т –невырожденная.

2⁰. Каждая невырожденная матрица порядка n может служить матрицей перехода от одного базиса к другому.

Действительно, пусть дана невырожденная матрица Т и базис (1). По формулам (3) построим систему векторов (2). Эта система будет базисом, так как она состоит из n векторов и линейно независима, поскольку линейная зависимость между векторами системы (2) привела бы к линейной зависимости между столбцами матрицы Т, что невозможно ввиду ее невырожденности.

Выведем формулы перехода, или, что то же самое, формулы преобразования координат, то есть систему равенств, позволяющих по данным координатам вектора в одном базисе и матрице перехода от одного базиса к другому вычислять координаты этого же вектора в другом базисе.

Пусть x ₁,…, x _n - координаты вектора х в базисе (1), тогда

x = x ₁ e ₁+…+ x_n e _n. (8)

Введем в рассмотрение матрицу-столбец

[ x ] = . (9)

Тогда равенство (8) перепишется как

х = е [ x ]. (10)

Аналогично обозначим [ x ]¢ матрицу-столбец из координат x ₁¢,…, x_n ¢ этого же вектора х в базисе (2). Тогда

х = е ¢[ x ]¢. (11)

Из (10) и (11), с учетом (6), имеем

e [ x ] = e ¢[ x ]¢ = e T[ x ]¢, (12)

откуда, в силу независимости базисных векторов, получаем

[ x ] = T[ x ]¢. (13)

В подробной записи равенство (13) выглядит так:

x ₁ = t ₁₁ x ₁¢+…+t _{n 1}x _n ¢,

………………….. (14)

x _n = t _{1 n} x ₁¢+…+ t_nnx_n ¢.

Пример. Построить матрицу перехода от базиса е к базису е′, где каждый вектор базиса е′ единственным образом выражается через базис е:

е₁′ = 5 е₁ + е₂ + 2 е₃,

е₂′ = 2 е₁ - 3 е₂ - 10 е₃,

е₃′ = -2 е₁ + е₂ - 2 е₃.

Воспользовавшись формулами (3) и (4), замечаем, что матрица перехода имеет вид

Поиск по сайту: