Ортогональный линейный оператор

Определение. Линейный оператор j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов х и у из Е

(j х,j у) = (х, у). (1)

Заметим, что ортогональный оператор j можно определить с помощью сопряженного оператора j^* как такой оператор, для которого

j^* = j^-1. (2)

В самом деле, записав условие сопряженности операторов j и j^* для векторов х и j у, получим (j х,j у) = (х,j^*j у), откуда видим, что равенство (1) может быть выполненным для оператора j в том и только в том случае, когда j^* = j^-1.

Отметим простейшие следствия из определения.

Следствие 1. Если j - ортогональный оператор, то образы всех векторов любого ортонормированного базиса образуют ортонормированный базис.

Действительно, если е ₁,…, е _п - ортонормированный базис, а j е ₁,…,j е _п – образы векторов этого базиса, то (j е _i,j e _j) = (e _i, e _j) = d _ij, i,j =1,2,… n, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе ортогональна.

Если А_j - матрица оператора j в ортонормированном базисе е ₁,…, е _п, то ее можно считать матрицей перехода от ортонормированного базиса е ₁,…, е _п к ортонормированному базису j е ₁,…,j е _п и, следовательно, она ортогональна.

Следствие 3. Произведение ортогональных операторов является ортогональным оператором.

Если операторы j и y ортогональны, то (jy х, jy у) = (y х,y у) = = (х, у).

Теорема 1. Линейный оператор ортогонален тогда и только тогда, когда длина любого вектора равна длине его образа.

Необходимость условия следует из (1) при у = х, так как из равенства |j х |² = | х |² сразу получаем, что |j х | = | х |.

Достаточность. Пусть дано, что для произвольного вектора z справедливо |j z | = | z |. Положим z = x + y, где х, у - любые векторы из Е. Тогда |j(х + у)|² = | х+у |², или, что то же самое, (j х+ j у,j х+ j у) = = (х+у, х+у). Используя свойства скалярного произведения и определение длины, перепишем эти равенства в виде

|j х |² + 2(j х,j у) + |j у |² = | х |² + 2(х, у) + | у |². (3)

Так как в этом равенстве |j х | = | х |, а |j у | = | у |, то (j х,j у) = (х, у).

Теорема 2. Если линейный оператор j отображает хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис, то оператор j – ортогональный.

Доказательство. Пусть е ₁,…, е _п - такой ортонормированный базис, который отображается в ортонормированный j е ₁,…,j е _п. Возьмем два произвольных вектора

х = х ₁ е ₁+…+ х_п е _п и у = у ₁ е ₁ +…+ у_п е _п, (4)

тогда

j х = х ₁j е ₁+…+ х_п j е _п и j у = у ₁j е ₁+…+ у_п j е _п. (5)

Так как базисы e _i, i = 1,…, n и j e _i, i = 1,…, n - ортонормированные, то по теореме 3 § 2 данной главы (х, у) = х ₁ у ₁ +…+ х_пу_п и (j х,j у) = = х ₁ у ₁+…+ х_пу_п, и потому (j х,j у) = (х, у).

Теорема 3. Если матрица линейного оператора j ортогональна хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор j ортогонален.
Доказательство. Пусть линейный оператор j в данном ортонормированном базисе е ₁,…, е _п имеет ортогональную матрицу Q = || q_ij ||. Тогда j е _i = e _k, j e _j = e _m. Вычислим скалярное произведение этих векторов:

(j е _i,j e _j) = (e _k, e _m) = = . (6)

Из ортогональности матрицы Q следует (см. формулу (4) §3), что , и тогда (j e _i,j e _j) = d _ij, что означает ортонормированность образов векторов данного базиса. По теореме 2 заключаем, что j - ортогональный оператор.

Поиск по сайту: