Закон инерции квадратичных форм

Пусть в векторном пространстве V над полем R действительных чисел задана квадратичная форма К, которая приведена к нормальному виду.

Теорема (Закон инерции квадратичных форм). Число положительных и отрицательных квадратов координат векторов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Пусть имеются два канонических базиса e ₁,…, e _n и f ₁,…, f _n, в которых квадратичная форма K принимает соответственно вид

К (х) = (1)

К (х) = , (2)

где x₁,…,x_n – координаты вектора x в базисе e₁,…, e_n, а y₁,…y_n –координаты этого же вектора в базисе f₁,…, f_n.

Докажем теорему от противного, предположив, что m ¹ s. Положим для определенности, что m<s.

Рассмотрим подпространства L = < e₁,…, e_s > и M = < f_m+1,…, f_n > векторного n-мерного пространства V.

Очевидно, dim (L + M) £ dim V = n, и потому

dim L Ç M=dim L + dim M – dim (L + M) ³ s + (n – m) – n= s – m > 0. Это значит, что LÇ M ¹ {0} и существует ненулевой вектор a из этого пересечения, который с учетом системы образующих подпространств L и M мы можем представить в виде

a = a₁ e₁ + … +a_s e_s = b_{m+ 1} f_m+1 + … + b_n f_n. (3)

Вычислим значение K(a), подставив координаты вектора а в базисе e₁,…, e_n в (1), а координаты этого же вектора в базисе f₁,…, f_n – в (2). Учитывая (3), получим

a₁² + … + a_s² = -b_m+1² - … -b_r², (4)

что невозможно, так как а – ненулевой вектор и среди его координат a₁,...,a_s, 0,…,0 имеются ненулевые, в силу чего a₁² + … + a_s² >0.

Полученное противоречие доказывает нашу теорему.

Определение. Число i ⁺ положительных квадратов в нормальном виде квадратичной формы называется положительным индексом инерции, а число i ^- отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции. Число s = i ⁺ - i ^- называется сигнатурой квадратичной формы.

Учитывая очевидное соотношение r = i ⁺ + i ^-, где r – ранг квадратичной формы, заключаем, что ранг и сигнатура квадратичной формы единственным образом определяют ее положительный и отрицательный индексы инерции.

В дальнейшем, при записи квадратичной формы в нормальном виде, будем перенумеровывать, если необходимо, координаты векторов так, чтобы сначала записывались положительные квадраты, а затем все отрицательные.

Поиск по сайту: