Задания подпространств

Пусть дано векторное пространство V над полем Р.

Определение 1. Подпространством векторного пространства V называется подмножество WÌ V, которое само является векторным пространством относительно заданных в V операций сложения и умножения на числа.

Теорема1. Чтобы непустое подмножество W векторного пространства V было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы для любых векторов a и b из W и любого числа a из поля Р выполнялись условия

a + b Î W, (1)

a a Î W. (2)

Доказательство. Необходимость. Если W – подпространство, то (1) и (2) обязаны выполняться по определению операции сложения и умножения на числа в множестве W.

Достаточность. Пусть в подмножестве W выполнены условия (1) и (2). Чтобы W само являлось векторным пространством, должны выполняться условия 1-8 определения 1 §1.

Из (2) при a = 0 и a = -1 следует, что 0 Î W и - а Î W, что означает выполнение условий 2 и 3, входящих в определение векторного пространства. Что касается остальных шести условий, то они в W очевидно выполняются, так как W Ì V.

Тривиальными примерами подпространств любого векторного пространства V могут служить подмножества W = { 0 } и W = V. Нетривиальные примеры подпространств читатель легко может построить сам после знакомства со способами задания подпространств, к изложению которых мы приступаем. Предварительно дадим

Определение 2. Линейной оболочкой системы векторов a ₁,…, a _k называется множество L всех линейных комбинаций этих векторов.

Теорема 2. Линейная оболочка системы векторов является векторным подпространством.

В самом деле, и сумма линейных комбинаций, и произведение линейной комбинации на число снова будет линейной комбинацией, поэтому утверждение теоремы справедливо в силу теоремы 1.

Очевидно, что система векторов a ₁,…, a _k является системой образующих, или, что то же самое, порождающей системой линейной оболочки L, то есть L = < a ₁,…, a _k >. Говорят также, что подпространство L натянуто на векторы a ₁,…, a _k. Из теоремы 2 следует первый способ задания подпространств:

каждое подпространство может быть задано системой образующих.

Замечание. Выбрасывая из системы a ₁,…, a _k те векторы, которые линейно зависят от предыдущих, мы получим независимую систему образующих a ₁,…, a _m, которая является базисом их линейной оболочки L. В этом случае каждый вектор x Î L представим в виде

x = t ₁ a ₁+…+ t_m a _m. (3)

Равенство (3) иногда называют параметрическим уравнением подпространства L, ачисла t ₁,…, t_m – параметрами.

Прежде чем описывать второй способ задания подпространств, рассмотрим систему линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга r = n-m вида

(4)

Заметим, что в n- мерном векторном пространстве V с выбором базиса устанавливается биекция между векторами из V и их координатами, что позволяет отождествить каждое решение системы (4) с вектором из V, а множество всехрешений – с некоторым множеством W Ì V. С учетом этого замечания сформулируем следующие теоремы.

Теорема 3. Множество W всех решений однородной системы линейных уравнений (4) ранга r = n-m является m -мерным подпространством пространства V.

В самом деле, известно, что как сумма решений, так и произведение числа на решение снова является решением, поэтому по теореме 1 множество W – подпространство. Известно также, что любое решение линейно выражается через фундаментальную систему решений. Так как эта система линейно независима, то она является базисом W, а поскольку число решений в этой системе равно n-r = m, то dimW = m.

Теорема 4. Любое m-м ерное подпространство W n -мерного векторного пространства V может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга n-m.

Доказательство. Пусть в векторном пространстве V задано подпространство W. Выберем в V и W соответственно базисы e ₁,…, e _n и f ₁,…, f _m, дополним базис W векторами f _{m +1},…, f _n до базиса пространства V и обозначим e = (e ₁,…, e _n), f = (f ₁,…, f _n). Положим e = f A, где

A = (5)

- матрица перехода от базиса f базису e. Если обозначить x ₁,…, x_n - координаты любого вектора х в базисе е, а y ₁,…, y_n - координаты этого же вектора в базисе f, то формулы перехода будут иметь вид

y ₁= a ₁₁ x ₁ +…+ a _{1 n} x_n,

………………….. (6)

y_n= a_{n 1} x ₁ +…+ a_nnx_n.

Из разложения вектора х по базису f ₁,…, f _n

x = y ₁ f ₁ +…+ y_m f _m + y_{m +1} f _{m +1}+…+ y_n f _n, (7)

следует, что вектор х принадлежит подпространству W тогда и только тогда, когда

y_m+1 = 0, …, y_n = 0. (8)

Если в (8) заменить y_m+1,…,y_n их выражениями из (6), то получим систему вида (4).

Из теорем 3 и 4 следует второй способ задания подпространств: каждое подпространство может быть задано системой линейных однородных уравнений.

Поиск по сайту: