Петин, В. А

П-29 Линейная алгебра: учеб. пособие/ В.А. Петин, М. Е. Ковалевская; ГОУ ВПО «Кемеровский госуниверситет». - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2005. - 84 с.

ISBN 5-8353-0408-0

Учебное пособие «Линейная алгебра» является составной частью курса «Линейная алгебра и геометрия». В пособии излагается теория абстрактных векторных и евклидовых пространств, а также функций на этих пространствах: линейных операторов, линейных билинейных и квадратичных форм. Данное пособие выгодно отличается от имеющейся литературы тем, что оно содержит, при небольшом объеме, полное изложение вопросов, предусмотренных Государственным стандартом обучения.

ISBN 5-8353-0408-0 ББК В143я73

Ó Петин В. А/,

Ковалевская М. Е., 2005

Ó ГОУ ВПО «Кемеровский

госуниверситет», 2005

Введение

Уже в курсе аналитической геометрии обнаруживается, что, по существу, геометрия отличается от алгебры только языком, причем переводчиком служит система координат: она переводит геометрические понятия на алгебраический язык систем чисел, уравнений и неравенств и наоборот. Оказалось, что, развивая и обобщая алгебраические понятия, можно во многих случаях сохранить геометрический язык и геометрическую аналогию, что позволяет истолковывать весьма наглядно абстрактные алгебраические понятия, а при решении многих задач использовать геометрическую интуицию. Основу курса «Линейная алгебра и геометрия» как раз и составляют такие абстрактные и общие алгебраические понятия и результаты, которые имеют геометрическую интерпретацию.

Геометрическое представление различных алгебраических структур, подкрепленное соответствующими вычислительными методами, дает чрезвычайно плодотворные результаты. Этим объясняется то, что результаты и понятия данного курса используются в таких математических дисциплинах, как дифференциальные уравнения, функциональный анализ, уравнения математической физики и др.

Данное пособие является только первой частью курса «Линейная алгебра и геометрия» и представляет собой изложение теории абстрактных векторных пространств и функций на векторных пространствах: линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные формы.

Напомним некоторые понятия, которые мы будем использовать в дальнейшем.

Пусть даны два произвольных множества М и N. Множество всевозможных пар элементов вида (m,n), где m – элемент из М, а n – элемент из N, называется декартовым произведением множеств M и N и обозначается M´N. Разумеется, можно составить декартово произведение множества М на себя, то есть М´М.

Алгебраической операцией на множестве М называется отображение f: M´M®M, то есть правило, сопоставляющее каждой паре элементов x и y из М один определенный элемент z из множества М. В отличие от других математических дисциплин, в алгебре элемент обозначается или x+ y, или xy, или иным знаком, например или как-то иначе, причем операцию обычно называют соответственно обозначению сложением, умножением, композицией и т. п. Следует лишь помнить, что свойства этих операций в общем случае не имеют ничего общего со свойствами сложения или умножения чисел. Например, совсем не следует, что для любой алгебраической операции, обозначенной знаком «+», справедливо равенство x+ y = y+ x.

Пусть имеем два множества M и N, из которых первое мы назовем основным, а второе – вспомогательным или множеством скаляров (независимо от природы его элементов).

Внешним законом композиции на множестве M, или умножением на скаляры, называется отображение . Элемент g(n,y) будем обозначать ny и называть произведением скаляра n на элемент y.

Напомним также, что множество Р называется полем, если на этом множестве заданы две алгебраические операции, называемые сложением и умножением, обе ассоциативные и коммутативные, обладающие соответственно нулем и единицей, причем для любого элемента поля найдется противоположный ему элемент, а для любого ненулевого - обратный, и эти операции связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения.

В настоящее время имеется весьма обширная литература по линейной алгебре. Не отсылая читателя к монографиям, мы приведем лишь некоторые достаточно известные учебники.

1) Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.1963

2) Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М. 1970.

3) Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М. 1970

4) Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М. 1962.

5) Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Минск, 1968.

Поиск по сайту: