Операторы. Определение 1. Линейный оператор j евклидова пространства Е называется симметрическим, если j = j*

Определение 1. Линейный оператор j евклидова пространства Е называется симметрическим, если j = j^*.

Иначе, оператор j называется симметрическим, если для любых векторов х и у из Е

(j х, у) = (х,j у). (1)

Теорема 1. Симметрический оператор обладает следующими свойствами:

а) сумма симметрических линейных операторов и произведение симметрического оператора на число являются симметрическими операторами;

b) матрица симметрического линейного оператора в любом ортонормированном базисе симметрична.

c) если матрица линейного оператора симметрична хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор – симметричен.

В самом деле, если j = j^*, то из теоремы 4 предыдущего параграфа следует, что

(j+y)^* = j^*+y^* = j+y, (a j)^* = a j^* = a j,

таким образом, выполнено свойство а). Свойство b) очевидно из (7) предыдущего параграфа, так как при j = j^* равенство А_j = А_j^t означает симметричность матрицы А_j. Свойство с) есть простое следствие теоремы 3 § 5 и определения 1.

Теорема 2. Собственные векторы симметрического линейного оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны.
В самом деле, пусть х и у собственные векторы симметрического оператора j и пусть j х = l х, j у = m у, причем l ¹ m. Тогда из (1) следует, что l(х, у) = m(х, у), (l-m)(х, у) = 0, а так как l-m ¹ 0, то (х, у) = 0.

Определение 2. Линейный оператор j евклидова пространства называется кососимметрическим, если j^* = - j.

Иными словами, оператор j является кососимметрическим в том и только в том случае, когда для любых векторов

(j х, у) = - (х,j у). (2)

По аналогии со свойствами симметрического оператора, легко показать, что сумма кососимметрических операторов и произведение на число кососимметрического оператора являются кососимметрическими операторами, что матрица кососимметрического оператора в любом ортонормированном базисе кососимметрична и что если матрица линейного оператора кососимметрична хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор кососимметричен.

Пусть L (E) – множество всех линейных операторов евклидова пространства, S(E) – множество всех симметрических, а С(Е) – множество кососимметрических операторов евклидова пространства. В § 3 главы 2 мы установили, что множество всех линейных операторов векторного пространства само образует векторное пространство, а из свойств симметрических и кососимметрических операторов следует, что S(E) и С(Е) являются подпространствами L(E).

Теорема 3. L(E) = S(E) Å C(E).

В самом деле, S(E) Ç C(E)= {0}, а для любого jÎ L(E) имеем

= s + t, (3)

где s = Î S(E), t = Î C(E).

Поиск по сайту: