Линейный оператор. Матрица линейного оператора

Пусть дано отображение j: V®V, где V – n -мерное векторное пространство над полем Р.

Образ вектора х при отображении j договоримся записывать не в привычном виде j(х), а в виде j х, так как это общеизвестный«операторный » способ обозначения. Можно напомнить и то, что при работе с конкретными функциями и в школе, и в вузе аргумент не выделяют скобками: пишут logx, а не log(x), tgx, а не tg(x) и т. п.

Определение 1. Линейным оператором называется отображение j: V®V, такое, что для любых векторов x и y из V и любого числа a из Р выполняются условия линейности, то есть

j(x+y) = j x + j y, (1)

j(a x) = aj x (2)

Наряду с названием линейный оператор употребляются следующие названия: векторная линейная функция, линейное преобразование, автоморфизм, аффинор, линейный функционал. В последние годы термин линейный оператор становится более употребительным.

Заметим, что условия (1) и (2) в определении 1 можно заменить одним условием j(a х + b у) = aj х + bj у, где a, b - любые числа из поля Р.

Отметим простейшие следствия из определения.

1⁰. j 0 = 0, что следует из (2) при a=0.

2⁰. j(- х) = -j х. Это свойство также вытекает из (2) при a = -1.

3⁰. Образ линейной комбинации есть линейная комбинация образов, то есть для любых векторов x ₁,…, x _p и любых чисел a₁,…,a _p справедливо равенство

j(a₁ x ₁ +…+ a _p x _p) = a₁j x ₁ + …+ a _p j x _p.

Теорема. Существует единственный линейный оператор j: V®V, который данный базис e ₁,…, e _n отображает в данную упорядоченную систему векторов c ₁,…, c _n.

Доказательство. Пусть дан базис и любая упорядоченная система векторов. Зададим отображение j следующим образом: каждому вектору x = x ₁ e ₁+…+ x_n e _n поставим в соответствие вектор j х = = x ₁ c ₁+…+ x_n c _n. Очевидно, с учетом теоремы 2 § 3 главы 1, построенное отображение j удовлетворяет условиям линейности, причем j e _i = c _i, i= 1,…, n. Для доказательства единственности предположим, что наряду с линейным оператором j существует ещё один линейный оператор y, такой, что y e _i = c _i, i= 1,…, n. Тогда х Î V будем иметь j x = j(x ₁ e ₁+…+ x_n e _n) = x ₁j e ₁+…+ x_n j e _n = x ₁ c ₁+…+ x_n c _n = = x ₁y e ₁ +…+ x_n y e _n = y(x ₁ e ₁ +…+ x_n e _n) = y x. Так как j х = y х при всех векторах х из V, то j = y.

Доказанная теорема позволяет при данном базисе задавать линейный оператор системой из n векторов, являющихся образами базисных векторов. Положим

j e ₁ = a ₁₁ e ₁+…+a_{1 n} e _n,

……………………. (3)

j e _n = a_{n 1} e ₁+…+ a_nn e _n.

Определение 2. Пусть дан линейный оператор j и некоторый базис e ₁,…, e _n. Матрица

А_j = , (4)

каждый i -й (i=1,…,n) столбец которой составлен из координат образа i- го базисного вектора в этом же базисе, называется матрицей линейного оператора в этом базисе.

Из теоремы и определения 2 следует, что задание матрицы А_j в данном базисе определяет линейный оператор j единственным образом.

Перепишем равенства (3) в матричном виде, положив e= (e ₁,…, e _n), j e = (j e ₁,…,j e _n):

j e = e A_j. (5)

Покажем, как, зная матрицу А_j линейного оператора j в базисе e ₁,…., e _n, по координатам вектора х в этом базисе найти координаты его образа.

Пусть

y = j x. (6)

Если векторы х и y разложить по базису, то можно переписать (6) в матричном виде:

e [ y ] = j(e [ x ]), (7)

где [ y ] - матрица-столбец из координат y ₁,…, y_n вектора у, а [ x ] – матрица-столбец из координат x ₁,…, x_n вектора х в базисе е. Так как

e [ x ] = x ₁ e ₁+…+ x_n e _n,

то j(е [ x ]) = j(x ₁ e ₁+…+ x_n e _n) = x ₁j e ₁+…+ x_n j e _n = j e [ x ], то (7) можно переписать в виде e [ y ] = j e [ x ]. Учитывая здесь (5), получим

e [ у ] = e A_j [ x ]. (8)

Учитывая единственность разложения векторов по базису, из (8) получаем

[ y ] = A_j [ x ]. (9)

В подробной записи (9) имеет вид

y ₁ = a ₁₁ x ₁+…+ a_{n 1} x_n,

................................. (10)

y_n = a _{1 n} x ₁+…+ a_nnx_n.

Пример. Пусть в некотором базисе пространства R³ заданы системы векторов:

a₁ = (0, 0, 1), b₁ = (2, 3, 5),

a₂ = (0, 1, 1), b₂ = (1, 0, 0),

a₃ = (1, 1, 1); b₃ = (0, 1, -1).

Найти в базисе a₁, a₂, a₃ матрицу линейного оператора f, переводящего векторы a₁, a₂, a₃ соответственно в векторы b₁, b₂, b₃.

Решение. Векторы a₁, a₂, a₃ составляют базис пространства. Значит, искомый оператор f существует и единственный. Для отыскания матрицы А оператора f в базисе a₁, a₂, a₃ нужно найти линейные выражения векторов-образов b₁, b₂, b₃ через векторы базиса a₁, a₂, a₃. Производя необходимые вычисления, находим

f a₁ = b₁ = 2 a₁ + a₂ + 2 a₃,

f a₂ = b₂ = - a₂ + a₃,

f a₃ = b₃ = -2 a₁ + a₂.

Матрица линейного преобразования имеет вид:

Поиск по сайту: