Критерий симметричности линейного оператора

В этом параграфе мы установим необходимый и достаточный признак симметричности линейного оператора.

Лемма. Все корни характеристического многочлена действительной симметрической матрицы действительны.

Доказательство. Пусть матрица А = - действительная симметрическая матрица и f (l) = |A-lE| - ее характеристический многочлен, а l₀ – корень этого многочлена, вообще говоря, комплексный. Составим вспомогательную систему линейных однородных уравнений

, i= 1,2,…, n, (1)

определитель которой |А-l₀Е| равен нулю. Эта система имеет нетривиальное, вообще говоря, комплексное решение g₁,g₂,…,g _п, а тогда будут иметь место п тождеств

i = 1,2,…, n. (2)

Договоримся обозначать чертой сверху число сопряженное числу с = a+bi, заметив при этом, что всегда действительное число, а с действительно тогда и только тогда, когда

Умножим каждое i -ое тождество в (2) на , после чего все эти тождества сложим. Получим одно тождество вида

(3)

Коэффициент при l₀ в этом тождестве действителен. Если окажется, что и число в левой части (3) действительно, то лемма верна. Мы проверим, что число, сопряженное левой части (3), совпадает с этим же числом, чем и завершим доказательство. В самом деле, используя свойства сопряженности для комплексных чисел и условие симметричности матрицы А, получим

. (4)

Лемма доказана.

Теорема (критерий симметричности линейного оператора). Линейный оператор симметричен тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого линейного оператора.

Достаточность почти очевидна: если в Е существует ортонормированный базис е ₁,…, е _п, составленный из собственных векторов линейного оператора j, то j е _i = l _i e _i, i = 1,…, n, из чего следует, что матрица линейного оператора j в данном базисе диагональна, то есть симметрична, а потому определяет симметрический оператор.

Доказывать необходимость теоремы будем по индукции. Для одномерного евклидова пространства утверждение верно, так как в таком пространстве все линейные операторы симметрические и все векторы собственные. Выбрав любой ненулевой вектор и нормировав его, мы получим ортонормированный базис, составленный из собственных векторов.

Будем считать теорему справедливой для симметрических операторов в (п -1) - мерных евклидовых пространствах. Рассмотрим в п -мерном евклидовом пространстве Е симметрический линейный оператор j. Корни его характеристического многочлена, являясь корнями симметрической матрицы в некотором ортонормированном базисе, действительны и служат собственными значениями оператора j. Пусть а – собственный вектор линейного оператора j, относящийся к некоторому собственному значению l₀ . Нормировав его, получим единичный собственный вектор е _п, такой, что

j е _п = l₀ е _п. (5)

Дополним систему из одного вектора е _п векторами f ₁,…, f _{n- 1} до ортонормированного базиса пространства Е ирассмотрим L = = < f ₁,…, f _{n- 1}>. Нетрудно видеть, что L = { x | (x, e _n) = 0}. Действительно, если

х = x ₁ f ₁+…+ x_{n- 1} f _{n- 1}+ x_n e _n, (6)

то

(х, е _п) = 0 Û х_п = 0 Û х Î< f ₁,…, f _{n- 1}> = L. (7)

Заметим, что линейную оболочку L мы можем рассматривать как (п -1) - мерное евклидово пространство, так как скалярное произведение, заданное в пространстве Е, определено и в подпространстве L Ì E. Линейный оператор j можно считать линейным оператором пространства L, так как для любого х Î L j x Î L в силу равенства (j х, е _п) = (х,j е _п) = l₀(х, е _п) = 0.

Далее, линейный оператор j, рассматриваемый как оператор пространства L, является в L симметрическим, так как равенство (j х, у) = (х,j у), справедливое для всех векторов пространства Е, будет справедливым и для векторов из L.

По предположению индукции, в L существует ортонормированный базис е ₁,…, е _{п- 1}, составленный из собственных векторов линейного оператора j. Присоединяя к нему вектор е _п, получим ортонормированный базис пространства Е, составленный из собственныхвекторов оператора j.

Поиск по сайту: