Квадратичная форма

Определение 1. Квадратичной формой, порожденной симметри- ческой билинейной формой В, называется скалярная функция К от одноговекторного аргумента, определенная формулой К (х) = В (х, х).

Из (5) §2 следует, что при выбранном базисе квадратичная форма может быть задана в виде

K (x) = , (1)

где a_ij = a_ji.

Теорема. Для любой квадратичной формы существует единственная порождающая ее симметрическая билинейная форма.

Доказательство. Пусть дана квадратичная форма К. Пусть В - неизвестная намбилинейная симметрическая форма, которая порождает квадратичную форму К. Тогда

К (х + у) = В (х+у, х+у) = В (х, х) + В (х, у) + В (у, х) + В (у, у) =

= К (х) +2 В (х, у) + К (у). (2)

Из (2) следует

В (х, у) = { - К (х) - К (у) + К (х+у)}. (3)

Формула (3) показывает, как по квадратичной форме можно построить порождающую ее билинейную форму. Единственность следует из ее построения: если предположить, что квадратичную форму К порождает билинейная форма В ¢, то, проделав те же операции, что и для билинейной формы В, мы получим ее представление в виде (3), что будет означать, что В' = В.

Определение 2. Матрицей А _К квадратичной формы в данном базисе называется матрица порождающей эту форму билинейной симметрической формы. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в некотором базисе.

Из определения следует, что при переходе к другому базису с матрицей Т матрица квадратичной формы преобразуется по формуле

А' _К =T^tA _K T. (4)

Если же областью определения квадратичной формы является векторное пространство над полем R действительных чисел, то знак определителя ее матрицы не зависит от выбора базиса.

Пример. Составить матрицу квадратичной формы

К(x)=

Учитывая, что матрица симметричная и что а_ij = a_ji, составляем матрицу

Поиск по сайту: