Линейная зависимость. Лемма о двух системах векторов

Пусть дана система векторов

а ₁, а ₂,…, а _s (1)

и набор чисел из поля Р

a₁, a₂, …,a_s. (2)

Определение 1. Вектор

a₁ а ₁ + a₂ а ₂ +…+ a_s a _s (3)

называется линейной комбинацией векторов системы (1), а числа (2) – коэффициентами этой линейной комбинации. Если все коэффициенты линейной комбинации - нули, то линейная комбинация называется тривиальной.

Если какой-либо вектор равен линейной комбинации векторов системы (1),то говорят, что он линейно выражается через эту систему.

Очевидно, тривиальная комбинация всегда равна нулю. Поставим вопрос: можно ли подобрать коэффициенты линейной комбинации так, чтобы нетривиальная комбинация данной системы векторов была равна нулю? Оказывается, это зависит от данной системы векторов, а не от нашего умения подбирать коэффициенты линейной комбинации.

Определение 2. Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация этих векторов равна нулю, и называется линейно зависимой в противном случае.

Иными словами, линейная независимость системы (1) означает, что

a₁ а ₁+a₂ а ₂+…+a_s a _s= 0 Û a₁= a₂=…= a_s= 0. (4)

Отметим простейшие следствия из определения 2.

1⁰. Всякая система векторов, содержащая 0, линейно зависима.

В самом деле, если, например, в системе (1) вектор а ₁= 0, то линейная комбинация (3) при a₁= 1, a₂= a₃=…= a_s= 0 будет не тривиальной, но равной 0.

2⁰. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Покажем это. Пусть векторы а ₁, а ₂,…, а _k, где k<s, образуют линейно зависимую подсистему системы (1). Тогда существуют такие числа a₁,…,a _k, не все равные нулю, что справедливо равенство a₁ а ₁+…+a _k a _k = 0. Приписав к левой части этого равенства слагаемое 0 a _{k +1}+…+0 a _s, мы увидим, что нетривиальная линейная комбинация всей системы векторов равна нулю, что и означает линейную зависимость системы.

Заметим, что доказанному свойству можно дать такую формулировку: если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

3⁰. (Критерий линейной зависимости). Система из более чем одного векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов (1), где s >1, линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0, то есть выполняется равенство

a₁ a ₁+ a₂ a ₂ +…+ a_s a _s= 0, (5)

и среди коэффициентов хотя бы один, например a_1, не равен нулю. Разделив обе части этого равенства на a_1, перепишем его в виде a ₁ = - a ₂- …- a _s, что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть, например, вектор а ₁ линейно выражается через остальные, то есть а ₁ = b₂ а ₂+…+b_S a _s. Переписав это равенство в виде

(-1) а ₁+b₂ а ₂+…+b_s a _s = 0, мы видим, что линейная комбинация системы векторов не тривиальна (-1¹ 0) и равна 0, что означает линейную зависимость векторов.

4⁰. Если система векторов а ₁,…, a _s, а линейно зависима, а ее подсистема a ₁,…,a_s линейно независима, то вектор а выражается единственным образом через эту подсистему.

Докажем это утверждение. В силу линейной зависимости системы найдутся такие числа b₁,…,b_s, b, не все равные нулю, что будет справедливо равенство

b₁ a ₁+…+ b_s a _s + b a = 0. (6)

Оказывается, что в этом случае b¹0, иначе мы имели бы нетривиальную нулевую комбинацию векторов подсистемы, что противоречит ее линейной независимости. Разделив обе части равенства (6) на число b, мы выразим вектор а через векторы подсистемы.

Докажем единственность. Пусть будет два разложения вектора а: a = x₁ a ₁+…+x_s a _s и a = y₁ a ₁+…+y_s a _s. Вычитая из первого равенства второе, получим (x₁-y₁) a ₁+…+(x_s-y_s) a _s = 0, откуда следует в силу линейной независимости подсистемы, что x₁-y₁= 0, …, x_s-y_s= 0.

Лемма о двух системах векторов. Если система векторов b ₁,…, b _m линейно независима, и каждый вектор этой системы линейно выражается через систему a ₁,…, a _k, то m £ k.

Доказательство. По условию леммы имеем

b ₁= a₁₁ a ₁+…+a_{1 k} a _k,

…………………… (7)

b _m=a_m1 a ₁+…+a _mk a _k.

Составим матрицу

А = (8)

Предположим противное, что m>k. Так как известно, что ранг r матрицы А не больше числа ее строк и не больше числа ее столбцов, то m>r. Это значит, что между строками матрицы А существует линейная зависимость, которую мы запишем в виде

l₁(a_11,…,a_{1 k} ) + …+ l _m (a _{m 1,}…,a _mk) = (0,…,0), (9)

где среди чисел l₁,…,l _m есть отличные от нуля.

Умножим теперь равенства (7) соответственно на числа l₁,…,l _m и сложим их почленно. Учитывая линейную зависимость (9), найдем

l₁ b ₁+…+ l _m b _m = (l₁a₁₁+…+ l _m a _{m 1}) a ₁+…+ (l₁a_{1 k} +…+ l _m a _mk) a _k =

= 0 a ₁+…+0 a _k = 0. (10)

Равенство (10) говорит о том, что система векторов b ₁,…, b _m линейно зависима, что противоречит условию.

Пример. В пространстве квадратных матриц порядка 2 проверить линейную зависимость системы матриц

Для данных матриц очевидна линейная комбинация

C = 2A + B или 2A + B – C =0, т. о. система линейна зависима.

Поиск по сайту: