АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональная матрица

Читайте также:
  1. Nikon D7100 - матрица APS-C в идеальном оформлении
  2. SWOT- матрица
  3. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  4. Анализ матричных данных (матрица приоритетов)
  5. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  6. Билет 11. Различные уравнения прямой в пространстве. Матрица перехода к новому базису.
  7. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  8. Билет 23. Матрица SWOT – анализа.
  9. Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе
  10. Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
  11. Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
  12. Билет26 Самосопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе.

Определение. Матрица Q с элементами из действительных чисел называется ортогональной, если

QtQ = E, (1)

где Е – единичная матрица.

Если обе части равенства (1) умножить на матрицу Q слева, а затем на матрицу Q-1 справа, то получим эквивалентное (1) равенство

QQt = E. (2)

Запишем выражения равенств (1) и (2) через элементы данных матриц. Пусть

Q = , Qt =

Тогда из (1) получим, что

, (3)

а из (2) следует, что

(4)

Отметим простейшие свойства ортогональной матрицы, вытекающие непосредственно из определения.

1) Матрица Q ортогональна тогда и только тогда, когда Qt = Q-1.

2) Матрица Qt, полученная транспонированием ортогональной матрицы Q, ортогональна.

Это утверждение становится очевидным, если в (2) заменить Q на (Qt)t и сравнить c (1).

3) |Q| = ±1.

В самом деле, из (1) следует, что |QQt| = |Q||Qt| = |Q|2 =|E| =1, откуда и следует свойство (3).

4) Матрица Q-1, обратная к ортогональной матрице Q, ортогональна.

Действительно, (Q-1)t = (Qt)t = Q = (Q-1)-1 и из 1) заключаем, что утверждение верно.

5) Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Пусть Q1, Q2 - ортогональные матрицы. Тогда (Q1Q2)t(Q1Q2) = =Qt2Qt1Q1Q2 = Qt2(Qt1Q1)Q2 = Qt2EQ2 = Qt2Q2 = E, и по определению 1 убеждаемся, что Q1Q2 – ортогональная матрица.

В заключение параграфа докажем, что справедлива следующая

Теорема. Матрица перехода от ортонормального базиса к ортонормальному ортогональна.

Доказательство. Пусть матрица перехода от базиса е 1,…, е п к базису е 1¢,…, е п ¢ будет Q.

Положим e i ¢ = e k, e j ¢ = e m. Тогда

(e i ¢, e j ¢) = ( e k, e m) = (e k, e m). (5)

Учитывая, что базисы е 1,…, е п и е 1¢,…, е п ¢ - ортонормированные, перепишем (5) в виде

. (6)

Пользуясь свойствами символа Кронекера , перепишем правую часть равенства (6) следующим образом: , что в силу (4) означает, что Q – ортогональная матрица.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)