Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера

1. не зависит от .

В этом случае уравнение Эйлера имеет вид

. (6)

Решение этого дифференциального уравнения не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям , .

Лишь в исключительных случаях, когда кривая (6) проходит через граничные точки и существует кривая, на которой может достигаться экстремум.

2. зависит от линейно, то есть, .

Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид:

. (7)

Полученное уравнение, как и в случае (1), является конечным, а не дифференциальным уравнением. Кривая, определяемая уравнением , вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям, и, значит, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций. Если в некоторой области C плоскости , то выражение является полным дифференциалом и функционал

не зависит от пути интегрирования: значение функционала одно и тоже на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.

3. зависит лишь от , то есть .

Уравнение Эйлера имеет вид

.

В этом случае экстремалями являются прямые всевозможные линии

, (8)

где и - произвольные постоянные.

4. не зависит от , то есть .

В этом случае уравнение Эйлера , откуда

(9)

где - произвольная постоянная.

Уравнение (9) есть дифференциальное уравнение первого порядка. Интегрируя его, находим экстремали задачи.

5. F не зависит явно от , то есть .

Поиск по сайту: