 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Первый множитель в (3.3.10) обращается в нуль в точках, для которых
. (3.3.11)
В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (3.3.4)).
Второй множитель в (3.3.10) принимает значение 
в точках, удовлетворяющих условию
. (3.3.12)
Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна
(3.3.13)
(
- амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом 
).
Условие (3.3.12) определяет положения максимумов интенсивности, называемых главными. Число 
дает порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.
Возведя равенство (3.3.13) в квадрат, получим, что интенсивность главных максимумов 
в раз больше интенсивности 
, создаваемой в направлении одной щелью: 
.
Кроме минимумов, определяемых условием (3.3.11), в промежутках между соседними главными максимумами имеется 
добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием
. (3.3.14)
.
В формуле (3.3.14) 
принимает все целочисленные значения, кроме 
, т. е. кроме тех, при которых условие (3.3.14) переходит в (3.3.12).
Условие (3.3.14) легко получить методом графического сложения колебаний. Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (3.3.14) каждый из последующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол
.
Поэтому в тех случаях, когда не является целым кратным 
, мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает (при 
) или 
(при 
) оборотов прежде чем конец -го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено на рис. 3.3.26, на котором показана сумма векторов для случая 
и значений , равных 
и 
.
Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно 
. Ранее было показано, что интенсивность вторичных максимумов не превышает 
интенсивности ближайшего главного максимума.
На рис. 3.3.27 приведен график функции (3.3.10) для 
и 
. Пунктирная кривая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на . При взятом на рисунке отношении периода решетки к ширине щели 
главные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (3.3.11) и (3.3.12) вытекает, что главный максимум -го порядка придется на 
-й минимум от одной щели, если будет выполнено равенство: 
, или 
. Это возможно, если 
равно отношению двух целых чисел 
и 
(практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный максимум -го порядка наложится на -й минимум от одной щели, максимум 
-го порядка - на 
-й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков 
и т. д. будут отсутствовать.
Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решетки 
к длине волны 
. Модуль 
не может превысить единицу. Поэтому из формулы (3.3.12) вытекает что
.
Определим угловую ширину центрального (нулевого) максимума. Положение ближайших к нему дополнительных минимумов определяется условием 
(см. формулу (3.3.14)), этим минимумам соответствуют = 
, при этом 
, и угловая ширина центрального максимума равна 
.
Положение дополнительных минимумов, ближайших к главному максимуму -го порядка, определяется условием: 
. Отсюда получается для угловой ширины -го максимума следующее выражение:
.
Обозначив 
и 
, имеем
.
При большом числе щелей значение 
будет очень мало, потому 
, и
.
При 
Произведение 
дает длину дифракционной решетки. Следовательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональна длине решетки. С увеличением порядка максимума ширина 
возрастает.
В дифракционном спектре положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный - наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.
Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 
). Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн 
, при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.
Угловой дисперсией называется величина
,
где 
- угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .
Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, продифференцируем условие (3.3.12) главного максимума слева по , а справа по . Опуская знак минус, получим
.
Отсюда
.
В пределах небольших углов 
, поэтому можно положить
(3.3.15)
- угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки . Чем выше порядок спектра , тем больше дисперсия.
Поиск по сайту: