|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Доведення. Пiдставляючи (7) у рiвняння (3) i беручи
Пiдставляючи (7) у рiвняння (3) i беручи до уваги, що функцiї є розв’язками рiвняння (3), отримуємо: + +...+ = + +...+ = = . а це й означає, що функцiя (7) є розв’язком рiвняння (3). Формулу (7) називають загальним розв’язком рiвняння (3). Звертаємо увагу, що загальний розв’язок рiвняння з частинними похiдними першого порядку мiстить довiльну функцiю, а не довiльнi сталi, як це було для звичайних диференцiальних рiвнянь. Приклад 3. Зiнтегрувати рiвняння . Розв’язання. Складемо вiдповiдну систему характеристик i зiнтегруємо її: , , а тому iнтегралами є , . Отже, загальним розв’язком заданого рiвняння є , де – довiльна неперервно диференцiйовна функцiя вiд часток , , тобто u є довiльною неперервно диференцiйовною однорiдною функцiєю нульового вимiру змiнних x, y, z. Наприклад, розв’язками заданого рiвняння є функцiї , , , , Вiдповiдь: . З теореми 3 випливає, що задача про побудову загального розв’язку рiвняння (3) рiвносильна задачi про вiдшукання n − 1 незалежних iнтегралiв вiдповiдної йому системи характеристик (4). У випадку двох незалежних змiнних, позначивши шукану функцiю через , маємо рiвняння (8) Вiдповiдна система характеристик вироджується в одне диференцiальне рiвняння . (9) Якщо – iнтеграл рiвняння (9), то , де – довiльна неперервно диференцiйовна функцiя вiд змiнної , буде загальним розв’язком рiвняння (8). Приклад 4. Зiнтегрувати рiвняння . Розв’язання. Вiдповiдна система характеристик вироджується у рiвняння з вiдокремлюваними змiнними: , iнтегралом якого є . Згiдно з теоремою 3 загальний розв’язок заданого рiвняння має вигляд . З геометричної точки зору маємо сiм’ю поверхонь обертання з вiссю обертання Oz. Таким чином, задане рiвняння є диференцiальним рiвнянням усiх поверхонь обертання з вiссю обертання Oz. Iнтегральними поверхнями є поверхнi обертання . Окремими випадками цих поверхонь є (параболоїд обертання), (пiвсфера), (конус), (площина). Вiдповiдь: .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |