Доведення. Пiдставляючи (7) у рiвняння (3) i беручи

Пiдставляючи (7) у рiвняння (3) i беручи

до уваги, що функцiї є розв’язками рiвняння (3), отримуємо:

+ +...+ = + +...+ =

= .

а це й означає, що функцiя (7) є розв’язком рiвняння (3). Формулу (7) називають загальним розв’язком рiвняння (3). Звертаємо увагу, що загальний розв’язок рiвняння з частинними похiдними першого порядку мiстить довiльну функцiю, а не довiльнi сталi, як це було для звичайних диференцiальних рiвнянь.

Приклад 3. Зiнтегрувати рiвняння

.

Розв’язання.

Складемо вiдповiдну систему характеристик

i зiнтегруємо її: , , а тому iнтегралами є , . Отже, загальним розв’язком заданого рiвняння є

,

де – довiльна неперервно диференцiйовна функцiя вiд часток , , тобто u є довiльною неперервно диференцiйовною однорiдною функцiєю нульового вимiру змiнних x, y, z.

Наприклад, розв’язками заданого рiвняння є функцiї

, , , ,

Вiдповiдь: .

З теореми 3 випливає, що задача про побудову загального розв’язку рiвняння (3) рiвносильна задачi про вiдшукання n − 1 незалежних iнтегралiв вiдповiдної йому системи характеристик (4). У випадку двох незалежних змiнних, позначивши шукану функцiю через , маємо рiвняння

(8)

Вiдповiдна система характеристик вироджується в одне диференцiальне рiвняння

. (9)

Якщо – iнтеграл рiвняння (9), то , де

– довiльна неперервно диференцiйовна функцiя вiд змiнної , буде загальним розв’язком рiвняння (8).

Приклад 4. Зiнтегрувати рiвняння .

Розв’язання.

Вiдповiдна система характеристик вироджується у рiвняння з вiдокремлюваними змiнними: , iнтегралом якого є . Згiдно з теоремою 3 загальний розв’язок заданого рiвняння має вигляд .

З геометричної точки зору маємо сiм’ю поверхонь обертання з вiссю обертання Oz. Таким чином, задане рiвняння є диференцiальним рiвнянням усiх поверхонь обертання з вiссю обертання Oz. Iнтегральними поверхнями є поверхнi обертання . Окремими випадками цих поверхонь є (параболоїд обертання), (пiвсфера), (конус), (площина).

Вiдповiдь: .

Поиск по сайту: