АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Розв’язання. Iнтегруючи за змiнною x, маємо , де – довiльна диференцiйовна функція

Читайте также:
  1. Основна суперечність малого підприємництва та форми її розв’язання.
  2. Проблема зовнішньої трудової міграції в Україні та шляхи їх розв’язання.
  3. Розв’язання.
  4. Розв’язання.
  5. Розв’язання.
  6. Розв’язання.
  7. Розв’язання.
  8. Розв’язання.
  9. Розв’язання.
  10. Розв’язання.
  11. Розв’язання.

Iнтегруючи за змiнною x, маємо , де – довiльна диференцiйовна функція. Iнтегруючи тепер останню рiвнiсть за змiнною y, одержуємо, що ,

де , - довiльнi диференцiйовнi функцiї.

З наведених прикладiв випливає, що розв’язки диференцiального рiвняння з частинними похiдними першого порядку можуть залежати вiд однiєї довiльної функцiї, а розв’язки рiвняння другого порядку – вiд двох довiльних функцiй. Пiзнiше буде показано, що розв’язки рiвняння (1) можуть залежати вiд однiєї неперервно диференцiйовної функцiї, кiлькiсть аргументiв якої (n −1).

Якщо у рiвняннi (1) функцiя Φ залежить лiнiйно вiд частинних похiдних шуканої функцiї, то його називають лiнiйним. Лiнiйне рiвняння можна записати у виглядi

, (2)

Якщо права частина рiвняння (2) тотожно дорiвнює нулю, а коефiцiєнти не залежать вiд шуканої функцiї u, то маємо рівняння

, (3)

яке називають лiнiйним однорiдним рiвнянням з частинними похiдними першого порядку. Вважаємо, що коефіцієнти цього рiвняння визначенi та неперервнi разом з частинними похiдними за змiнними у деякому околi заданої точки i що у ц iй точцi вони одночасно не перетворюються у нуль, наприклад, . Очевидно, що рiвняння (3) має розв’язок u = c, де c – довiльна стала.

Одночасно з рiвнянням (3) розглядатимемо систему звичайних диференцiальних рiвнянь

= =…= . (4)

яка складається з (n −1)-го рiвняння. Систему (4) називають системою характеристик (характеристичною системою). Систему характеристик можна записати також у виглядi:

, , …, (5)

Доведемо двi теореми, якi встановлюють зв’язок мiж рiвнянням (3) i вiдповiдною системою характеристик (4).

Теорема1. Кожний iнтеграл системи = =…= .єрозв’язком

рiвняння .

Доведення.

Нехай – iнтеграл системи (4),

визначений у деякому околi точки . Тодi згiдно з означенням iнтеграла повний диференцiал функцiї внаслiдок системи (4) тотожно дорiвнює нулю, тобто

,

де диференцiали потрiбно замiнити виразами, якi випливають з (5):

..., .

Таким чином,

звiдки випливає, що функцiя u = є розв’язком рiвняння (3).

Теорема 2. Кожний розв’язок рiвняння (3) єiнтегралом системи (4).


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.295 сек.)