Основні поняття. Задача Коші та її геометричний зміст

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

СХІДНОЄВРОПЕЙСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ЛЕСІ УКРАЇНКИ

Математичний факультет

Кафедра диференціальних рівнянь та математичної фізики

КУРСОВА РОБОТА

“Однорідне лінійне рівняння в частинних похідних першого порядку”

Виконала:

студентка 21 групи

денної форми навчання

Мельничук Анастасія

Науковий керівник:

Жигало Т.В.

Луцьк - 2013

Зміст

Вступ……………………………………………………………………………3

1. Основні поняття. Задача Коші та її геометричний зміст………………….4

2. Зв’язок між однорiдним лiнiйним рiвнянням в частинних похiдних першого порядку і відповідною йому системою звичайних ДР в симетричній формі………………………………………………………………10

3. Побудова загального розв’язку однорiдного рiвняння……………………..14

4. Розвязання задачі Кошi для лiнiйного однорiдного рiвняння……………...17

Висновок………………………………………………………………………….21

Список використаної літератури………………………………………………..22

Вступ

В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – це диференціальні рівняння в частинних похідних.

Існує спеціальна дисципліна, яка за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь математично описує явища, пов’язані з деякими фізичними процесами. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.

Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 1-го порядку:

Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — це диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.

Мета даної курсової роботи - показати зв’язок таких рiвнянь з системами звичайних диференцiальних рiвнянь i навести методи побудови загального розв’язку та розв’язку задачi Кошi, якi ґрунтуються на цьому зв’язку. Поштовхом до розвитку теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних стали задачі математичної фізики, які базуються на фізичних законах, що в більшості описуються рівняннями данного класу.

Об’єкт даної курсової роботи є - дослідження однорідного лінійного рівняння в частинних похідних першого порядку та спосіб побудови

загального розв’язку лiнiйного однорiдного рiвняння.

Робота складається зі вступу, одного розділу, висновків і списку використаної літератури. Цей розділ описує основні поняття формулювання та геометричний зміст Задачі Коші для лiнiйних рiвняннь в частинних похiдних першого порядку.

Основні поняття. Задача Коші та її геометричний зміст.

Диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними (також відоме як рівняння математичної фізики) - називають спiввiдношення, яке мiстить невiдому функцiю вiд декiлькох змiнних, незалежнi змiннi та частиннi похiднi невiдомої функцiї за незалежними змiнними. Порядок старшої частинної похiдної, яка входить у рiвняння, називаютьпорядком рiвняння..

Наприклад, диференцiальне рiвняння з частинними похiдними першого порядку має такий загальний вигляд:

, (1)

де - шукана функція, - її частинні похідні, Ф – задана неперервно диференцiйовна функцiя в деякiй областi , причому в рiвняння (1) принаймнi одна частинна похiдна входить обов’язково.

Означення 2.  Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення 3.  Функція називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (1), якщо вона n -раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі і задовольняє диференціальному рівнянню (1) .

Приклад 1.   – диференціальне рівняння другого порядку.

При диференціальне рівняння (2) називається диференціальним рівнянням першого порядку і записується таким чином

. (2)

Диференціальне рівняння (2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді

. (3)

Припускаємо, що однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (3).

Якщо в деякій області функція перетворюється в , то в цій області розглядають диференціальне рівняння

.

Множину таких точок, а також тих, в яких не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (3).

Поряд з (3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах

(4)

або в більш загальному виді

. (5)

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі

. (6)

Функції будемо вважати неперервними в деякій області.

Означення 4. Розв’язком диференціального рівняння (3) на інтервалі І назвемо функцію , визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функції і яка перетворює диференціальне рівняння (3) в тотожність , тобто

.

В цьому випадку називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.

Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.

Означення 5.  Будемо говорити, що рівняння

(7)

визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (3), якщо воно визначає , яка є розв’язком диференціального рівняння (3).

При цьому на розв’язках диференціального рівняння (3) виконується

.(8)

Означення 6.  Будемо говорити, що співвідношення

(9)

визначають розв’язок диференціального рівняння (3) в параметричній формі на інтервалі , якщо

. (10)

Поиск по сайту: