|
||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задача Коші та її геометричний змістРозглянемо диференціальне рівняння . Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння знайти такий , який проходить через задану точку (11) Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції. Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (мал. 1): знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (3) ту, яка проходить через задану точку .
Означення 7. Будемо говорити, що задача Коші (3), (11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки . Якщо задача Коші (3), (11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші. При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ. Якщо права частина диференціального рівняння (3) в точці М приймає
нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (3) і знайти розв’язок (мал. 2). Мал. 2 Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (3) має невизначеність, наприклад, типу , тоді звичайна постановка задачі Коші не має змісту, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так: знайти розв’язок (або ), який примикає до точки М. В деяких випадках треба шукати розв’язок , який задовольняє умовам при при і т.д. Теорема Пікара (без доведення). Припустимо, що функція в диференціальному рівнянні (3) визначена і неперервна в обмеженій області і, отже, вона є обмеженою (12) функція має обмежену частинну похідну по у на D . (13) При цих умовах задача Коші (3), (11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі (14) Зауваження 1. В сформульованій теоремі умову (13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто . (15) Тут L>0 - найменша константа, яка задовольняє (15) і називається константою Ліпшіца.
Теорема Пеано (про існування розв’язку). Якщо функція є неперервною на D, то через кожну точку проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива. Якщо функція диференційовна і задовольняє (13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K. Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (13). Наприклад, .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |