Розвязання задачі Кошi для лiнiйного однорiдного рiвняння

Задача Кошi для рiвняння (3) полягає у знаходженнi розв’язку , який для фiксованого значення однiєї з незалежних змiнних, наприклад , перетворюється у задану неперервно диференцiйовну функцiю решти змiнних, тобто задовольняє початкову умову:

. (10)

У випадку, коли шукана функцiя залежить вiд двох незалежних змiнних, тобто для рiвняння (8), задача Кошi полягає у вiдшуканнi такого розв’язку z = f (x, y), який задовольняє початкову умову

,

де – задана функцiя. Геометрично це означає, що серед усiх iнтегральних поверхонь, якi визначаються рiвнянням (8), шукається така поверхня z = f (x, y), яка проходить через задану криву z = , яка лежить у площинi (ця площина паралельна до площини Oyz). Згiдно з теоремою 3 загальний розв’язок рiвняння (3) задається формулою (7), тобто .

Пiдставляючи цю функцiю в (10), бачимо, що розв’язок задачi Кошi (3), (10) зводиться до визначення вигляду функцiї , яка задовольняє умову

= .

Таким чином, одержуємо правило розв’язування задачi Кошi(3), (10):

1) скласти вiдповiдну систему характеристик i знайти її n − 1 незалежних iнтегралiв:

, , …, ;

2) замiнити у знайдених iнтегралах незалежну змiнну xn її початковим

(11)

значенням i розв’язати систему (11) вiдносно , тобто знайти

…, ;

3) побудувати функцiю

яка i буде розв’язком задачi Кошi.

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші

при умові при .

Розв'язання.

Складаємо систему , звідси – інтеграл.

Отже, . Шуканий розв’язок .

Розглянемо частинні випадки:

а) . Тоді ,

Мал. 1

Розв’язок – конус, який отриманий обертанням прямої навколо осі OZ (мал. 1);

Мал. 2

Розв’язок – параболоїд, який отриманий обертанням параболи навколо осі OZ (мал. 2).

Приклад 5. Знайти розв’язок задачi Кошi

, .

Поиск по сайту: