Построение разностной схемы

Требуется найти решение эллиптического уравнения

(3.1)

в области, представляющей собой прямоугольник [ a, b ] È [ c, d ], при следующих краевых условиях:

	x=a	x=b	y=c	y=d
1)
2)

Как видно из уравнения (3.1), его решение зависит от двух пространственных переменных x и y. Выберем систему координат так, чтобы в ней переменная x менялась вдоль оси абсцисс, а переменная y – вдоль оси ординат (рис.8).

Для решения уравнения (3.1) конечно-разностным методом построим конечно-разностную сетку, образованную пересекающимися вертикальными и горизонтальными линиями (рис.8) и покрывающую прямоугольник [ a, b ] È [ c, d ]. Координаты узлов сетки, образованные пересечением вертикальных и горизонтальных отрезков, определяются по формулам , , где - шаг по пространству вдоль оси x, ; - шаг по пространству вдоль оси y, . Здесь , .

Рис.8. Расчетная область.

Запишем конечно-разностную схему для уравнения (3.1), используя для производных по пространству пятиточечный шаблон (рис.9).

; .

Здесь значения функции , найденные в результате численного решения (3.1) в точке , заменено сеточной функцией .

Рис.9. Пятиточечный шаблон разностной схемы

Тогда имеем

(3.2)

где

, ,

Полученное разностное уравнение (3.2) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (3.1) со вторым порядком точности по переменным x и y.

Разностная схема (3.2) вместе с краевыми условиями, которые будут рассмотрены ниже, представляет собой систему из линейных алгебраических уравнений, которую можно решить, например, методом Гаусса-Зейделя:

(3.3)

Здесь k – номер итерации. Из (3.3) видно, что для получения значения функции в узле (i, j) на k +1 итерации необходимо знать значения функции в точках (i +1, j) и (i, j +1) на k -ой итерации и значения функции в точках (i –1, j) и (i, j –1) на k +1 итерации. Значения в двух последних точках (i –1, j) и (i, j –1) на k +1 итерации будут известны из граничных условий, если проводить расчет, начиная из нижнего левого угла, и заканчивать в верхнем правом углу области. При этом обход области возможен либо по горизонтальным линиям узлов, либо по вертикальным линиям.

На нулевой итерации во всех узлах, кроме граничных узлов, задаются некоторые значения функции , например, нулевые.

После каждой итерации проводим сравнение значений решения на новой итерации и на предыдущей итерации .

Расчет следует проводить до тех пор, пока не выполнится условие

,

здесь d - некоторая малая величина.

Для увеличения скорости сходимости итерационного процесса в методе Гаусса-Зейделя используют метод релаксации, который состоит из двух этапов.

Пусть на k -ой итерации известны значения функции . Сначала выполняется один итерационный шаг по методу Гаусса-Зейделя и определяются значения функции . Далее, полученные значения пересчитываются на k +1 итерационный слой по формуле:

. (3.4)

При w <1 метод носит название «нижней» релаксации, а при 1< w <2 – «верхней» релаксации.

Поиск по сайту: